Question

chứng minh rằng:

x+\(\frac{1}{x}\)​​\(\ge2\)với \(x\ge0\)\(\frac{x^2+2x+2}{x}\ge4\)với \(x\ge0\)\(\sqrt{\left(x-1\right)\left(4-x\right)}\)\(\le\frac{3}{2}\)với \(1\le x\le4\)

Answer 1

\(x+\frac{1}{x}\ge2\Leftrightarrow\frac{x^2+1}{x}\ge2\)

\(\Leftrightarrow x^2+1\ge2x\left(x\ge0\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\ge0\left(\text{luôn đúng}\right)\)

Vì BĐT cuối đúng nên BĐT đầu đúng (với x >= 0)

Answer 2

\(x+\frac{1}{x}\ge2\Leftrightarrow x>0\) vì x ở mẫu thức nên dấu =  không xảy ra nha bạn, lúc này mình ko để ý 

còn câu tiếp theo đề ntn mới đúng, cm tương tự câu trước \(\frac{x^2+2x+1}{x}\ge4\text{ với }x>0\)

Answer 3

\(\sqrt{\left(x-1\right).\left(4-x\right)}=\sqrt{4x-x^2-4+x}\)

\(=\sqrt{-\left(x^2-5x+4\right)}=\sqrt{-\left(x-\frac{5}{2}\right)^2+\frac{9}{4}}\le\frac{3}{2}\)

với \(1\le x\le4\)(thì BT trên có nghĩa )

Answer 4

\(\(x+\frac{1}{x}\ge2\)\)với\(\(x\ge0\)\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2+1}{x}\ge2\left(x\ne0\right)\)

\(\(\Leftrightarrow\frac{x^2+1}{x}-2\ge0\)\)

\(\(\Leftrightarrow\frac{x^2+1-2x}{x}\ge0\Leftrightarrow\frac{x^2-2x+1}{x}\ge0\)\)

\(\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-1\right)^2}{x}\ge0\)\)

Có : (luôn đúng )

hay \(\(x+\frac{1}{x}\ge2\)\)với \(\(x\ge0\)\)(dpcm)