\(x+\frac{1}{x}\ge2\Leftrightarrow\frac{x^2+1}{x}\ge2\)
\(\Leftrightarrow x^2+1\ge2x\left(x\ge0\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2-2x+1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\ge0\left(\text{luôn đúng}\right)\)
Vì BĐT cuối đúng nên BĐT đầu đúng (với x >= 0)
\(x+\frac{1}{x}\ge2\Leftrightarrow x>0\) vì x ở mẫu thức nên dấu = không xảy ra nha bạn, lúc này mình ko để ý
còn câu tiếp theo đề ntn mới đúng, cm tương tự câu trước \(\frac{x^2+2x+1}{x}\ge4\text{ với }x>0\)
\(\sqrt{\left(x-1\right).\left(4-x\right)}=\sqrt{4x-x^2-4+x}\)
\(=\sqrt{-\left(x^2-5x+4\right)}=\sqrt{-\left(x-\frac{5}{2}\right)^2+\frac{9}{4}}\le\frac{3}{2}\)
với \(1\le x\le4\)(thì BT trên có nghĩa )
\(\(x+\frac{1}{x}\ge2\)\)với\(\(x\ge0\)\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2+1}{x}\ge2\left(x\ne0\right)\)
\(\(\Leftrightarrow\frac{x^2+1}{x}-2\ge0\)\)
\(\(\Leftrightarrow\frac{x^2+1-2x}{x}\ge0\Leftrightarrow\frac{x^2-2x+1}{x}\ge0\)\)
\(\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-1\right)^2}{x}\ge0\)\)
Có : (luôn đúng )
hay \(\(x+\frac{1}{x}\ge2\)\)với \(\(x\ge0\)\)(dpcm)