10n+72-1=10n-1-9n+81n
=999.....99(n chữ số)-9n+81n
=9(1111...1(n chữ số)+n)+81n
Ta dễ thấy rằng 111..1(n chữ số) và n có cùng số dư khi chia cho 9
nên 1111...1(n chữ số)-n chia hết cho 9
=> 9(111...1(n chữ số)-n) chia hết cho 81
Mà 81n cũng chia hết cho 81
=> 10n+72n-1 chia hết cho 81 với
n E N
Ta có:
\(10^n+72n-1\)
=\(10^n-1+72n\)
=\(\left(10-1\right)\left(10^{n-1}+10^{n-2}+...+10+1\right)+72n\)
=\(9\left(10^{n-1}+10^{n-2}+...+10+1\right)-9n+81n\)
=\(9\left(10^{n-1}+10^{n-2}+...+10+1-n\right)+81n\)
=\(9\left[\left(10^{n-1}+1\right)+\left(10^{n-2}+1\right)+...+\left(10-1\right)\left(1-1\right)\right]+81n\)
Vì:
\(10^n-1=\left(10-1\right)\left(10^{n-1}+...+10+1\right)⋮9\)
\(\Rightarrow\)\(9\left[\left(10^{n-1}+1\right)+\left(10^{n-2}+1\right)+...+\left(10-1\right)\left(1-1\right)\right]⋮81\)
\(\Rightarrow\)\(9\left[\left(10^{n-1}+1\right)+\left(10^{n-2}+1\right)+...+\left(10-1\right)\left(1-1\right)\right]+81n⋮81\)
\(\Rightarrow10^n+72n-1⋮81\left(đpcm\right)\)
Ta có :
Cho biểu thức tính trên là A
\(A=10^n+72n-1\)
\(A=10^n-1+72n\)
\(10^n-1=\text{= 99...9 (có n-1 chữ số 9) }\)
\(\text{= 9.(11..1) (có n chữ số 1)}\)
\(\text{Ta thấy: 11...1 có n chữ số 1 có tổng các chữ số là n}\)
=> 11..1 - n chia hết cho 9
=> A : 9 = 11..1 - n + 9n chia hết cho 9
Vây A chia hết cho 81
