Đặt B = 10n + 10n-1 + ...+ 10 + 1
=> 10.B = 10n+1 + 10n + ...+ 102 + 10
=> 10B - B = 10n+1 -1
=> 9B = 10n+1 - 1
Ta có: 9A = 9B. (10n+1 + 5) + 9 = (10n+1 -1).(10n+1 + 5) + 9
9A = (10n+1)2 + 5.10n+1 - 10n+1 - 5 + 9 = (10n+1)2 + 4.10n+1 + 4
= (10n+1 + 2)2
=> A = \(\left(\frac{10^{n+1}+2}{3}\right)^2\)
Vì (10n+1 + 2 ) chia hết cho 3 nên \(\left(\frac{10^{n+1}+2}{3}\right)^2\) là số chính phương
=> A là số chính phương
Ta có công thức: an-1=(a-1)(an-1+an-2+...+a+1)
Từ đó suy ra:
A=\(\frac{10^{n+1}-1}{9}\left(10^{n+1}+5\right)+1\)
Đặt 10n+1=B => A=\(\frac{\left(B-1\right)}{9}\left(B+5\right)+1\)
=> A=\(\frac{\left(B-1\right)\left(B+5\right)+9}{9}\)
= \(\frac{B^2+4B+4}{9}\)
= \(\left(\frac{B+2}{3}\right)^2\)Hay \(\left(\frac{100...02_{\left\{n\right\}}}{3}\right)^2\)
= 333...342
Vậy A là số chính phương. (1)
Gỉa sử A=m3, m thuộc N
=> 333...34{n số 3} = m3
=> m3 chia hết cho 2
=> m chia hết cho 2
=> m3 chia hết cho 8 Hay (2.1666..67{n-1 số 6} )2 chia hết cho 8
=>4.1666..672{n-1 số 6} chia hết cho 8
=>1666..672 chia hết cho 2 (Vô Lý)
Vậy A ko thể là lập phương của 1 số tự nhiên. (2)
Từ (1) và (2) => ĐPCM
Ta có công thức sau: an - 1 = (a - 1) . (an-1 + an-2 +. . .+ a + 1)
Từ đây ta được quyền suy ra:
A=\(\frac{10^{n+1}-1}{9}\left(10^{n+1}+5\right)+1\)
Đặt 10n+1 = B \(\Rightarrow\)A = \(\frac{\left(B-1\right)}{9}\left(B+5\right)+1\)
\(\Rightarrow\)A = \(\frac{\left(B-1\right)\left(B+5\right)+9}{9}\)
= \(\frac{B^2+4B+4}{9}\)
= \(\left(\frac{B+2}{3}\right)^2\)Hay \(\left(\frac{100...02_{\left[n\right]}}{3}\right)^2\)
= 333...342
Vậy A là số chính phương. (1)
Giả sử A = m3 (m\(\in\)N) = m3
\(\Rightarrow\)333...34{n số 3} = m3
\(\Rightarrow\)m3 chia hết cho 2
\(\Rightarrow\)m chia hết cho 2
\(\Rightarrow\)m3 chia hết cho 8 hay (2.1666..67{n - 1 số 6} )2 chia hết cho 8
\(\Rightarrow\)4.1666..672{n - 1 số 6} chia hết cho 8
\(\Rightarrow\)1666..672 chia hết cho 2 (vô lí)
Vậy A không thể là lập phương của 1 số tự nhiên. (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\)Điều phải chứng minh.
