ta có 4x2 + 4y2 + 6x + 3 ≥ 4xy
<=> (x2 - 4xy + 4y2) + 3(x2 + 2x + 1) ≥ 0
<=> (x - 2y)2 + 3(x +1)2 ≥ 0 (luôn đúng với mọi x,y
vậy với mọi x,y ta có 4x2 + 4y2 +6x + 3 ≥ 4xy
Theo bài ra :4x2+4y2+6x+3≥4xy
⇔4x2+4y2+6x +3 -4xy≥0 ⇔ [x2-4xy+(2y)2] +3x2+6x+3≥0
⇔(x-2y)2+3(x2+2x+1)≥0 ⇔ (x-2y)2 +3(x+1)2 ≥0 ,∀ x,y
vậy 4x2+4y2+6x+3≥4xy
Ta có
(luôn đúng với mọi , ).
Vậy với mọi , ta có .
Giả sử 4x2 + 4y2 + 6x + 3 ≥ 4xy ta có :
4x2 + 4y2 + 6x + 3 ≥ 4xy
\(\Leftrightarrow\) 4x2 + 4y2 + 6x + 3 - 4xy ≥ 0
\(\Leftrightarrow\) 4x2 + 4y2 + 6x + 3 - 4xy ≥ 0
\(\Leftrightarrow\) 4y2 - 4xy + x2 + 3x2 + 6x +3 ≥ 0
\(\Leftrightarrow\) ( 4y2 - 4xy + x2 ) + 3 \(\times\) ( x2 + 2x + 1 ) ≥ 0
\(\Leftrightarrow\) ( 2y - x )2 + 3 \(\times\) ( x + 1 )2 ≥ 0
Mà ( 2y - x )2 ≥ 0 và ( x + 1 )2 ≥ 0 nên ( 2y - x )2 + 3 \(\times\) ( x + 1 )2 ≥ 0 ( đúng )
Vậy với mọi x,y thì 4x2 + 4y2 + 6x + 3 ≥ 4xy
4x2 + 4y2 + 6x + 3
ta có : 4x2 + 4y2 + 6x + 3 - 4xy ≥ 0
(x2 + 4y2 - 4xy ) + (3x2 + 6x + 3) ≥ 0
( x - 2y )2 + 3(x+1)2 ≥ 0 (*)
lại có : ( x - 2y )2 ≥ 0
3(x+1)2 ≥ 0
=> (*) luôn đúng với mọi x , y => 4x2 + 4y2 + 6x + 3
Ta có
(luôn đúng với mọi , ).
Vậy với mọi , ta có .
- Có: 4x2 + 4y2 + 6x + 3 ≥ 4xy
⇔ (x2 - 4xy + 4y2) + (3x2 + 6x +3) ≥ 0
⇔ (x - 2y)2 + 3.(x+1)2 ≥ 0
mà: (x - 2y)2 ≥ 0; ∀x,y ϵ R và (x+1)2 ≥ 0; ∀x,y ϵ R
=> 4x2 + 4y2 + 6x + 3 ≥ 4xy ; ∀x,y ϵ R (đpcm)
4x2 + 4y2 + 6x + 3 ≥ 4xy
⇔ (x2 - 4xy + 4y2) + (3x2 + 6x +3) ≥ 0
⇔ (x - 2y)2 + 3.(x+1)2 ≥ 0
Do (x - 2y)2 ≥ 0 ∀x,y ϵ R và (x+1)2 ≥ 0 ∀x,y ϵ R
=> 4x2 + 4y2 + 6x + 3 ≥ 4xy ; ∀x,y ϵ R (đpcm)
Ta có: 4x2 + 4y2 + 6x + 3 ≥ 4xy
<=> 4x2 + 4y2 + 6x + 3 - 4xy ≥ 0
<=> x2 + 4xy + 4y2 + 3x2 + 6x + 3 ≥ 0
<=> (x + 2y)2 + 3(x + 1)2 ≥ 0 (luôn đúng)
=> ∀x,y ϵ R, 4x2 + 4y2 + 6x + 3 ≥ 4xy
4x^2+4y^2+6x+3≥4xy
4y^2-4xy+x^2+3x^2+6x+3≥0
(2y+x)^2 +3(x^2+2x+1)≥0
(2y+x)^2 +3(x+1)^2≥0
=> đpcm
Ta có 4x2 + 4x2 + 6x + 3 ≥ 4xy
⇔ 4x2 + 4y2 + 6x + 3 - 4xy ≥ 0
⇔ x2 + 3x2 - 4xy + 4y2 + 6x + 3 ≥ 0
⇔ (x2 - 4xy + 4y2) + 3(x2 + 2x + 1) ≥ 0
⇔ (x - 2y)2 + 3 (x + 1)2 ≥ 0 (luôn đúng)
(x2+4xy+4y2)+ 3( x2+2x+1) \(\ge\) 0
<=> (x+2y)2 + 3.(x+1)2 \(\ge\) 0 \(\forall\) x , y
=> điều phải chứng minh
Ta có: \(4x^2\)+\(4y^2\)+6x+3 ≥ 4xy
⇔ \(x^2\)+\(3x^2\)+\(4y^2\)+6x+3-4xy ≥ 0
⇔ (\(x^2\)-4xy+\(4y^2\))+(\(3x^2\)+6x+3) ≥ 0
⇔ \(\left(x-2y\right)^2\)+3(\(x^2\)+2x+1) ≥ 0
⇔ \(\left(x-2y\right)^2\)+3\(\left(x+1\right)^2\) ≥ 0 (luôn đúng)
Do \(\left(x-2y\right)^2\) ≥ 0; \(\left(x+1\right)^2\) ≥ 0 ⇔ 3\(\left(x+1\right)^2\) ≥ 0
⇒ điều phải chứng minh
Vậy với mọi x,y ta có \(4x^2\)+\(4y^2\)+6x+3 ≥ 4xy
\(\forall\) x,y \(\in\) R, ta có:
đpcm <=> 4x2+4y2+6x+3 \(\ge\)4xy
\(\Leftrightarrow\) 4x2+4y2+6x+3 - 4xy \(\ge\) 0
<=> ( x2 - 4xy + 4y2 ) +3x2 +6x +3 \(\ge\) 0
<=> (x - 2y )2 + 3(x2 + 2x +1 ) \(\ge\) 0
<=> (x - 2y )2 +3(x+1)2 \(\ge\) 0 [ luôn đúng \(\forall\) x,y \(\in\)\(ℝ\) do (x-2y)2 \(\ge\)0, 3(x+1)2 \(\ge\)0 ]
=> đpcm