Question

Chứng minh rằng với mọi $x$, $y$ ta có $4x^2 + 4y^2 + 6x + 3 \ge 4xy$.

Answer 1

ta có 4x² + 4y² + 6x + 3 ≥ 4xy

<=> (x² - 4xy + 4y²) + 3(x² + 2x + 1) ≥ 0

<=> (x - 2y)² + 3(x +1)² ≥ 0 (luôn đúng với mọi x,y

vậy với mọi x,y ta có 4x² + 4y² +6x + 3 ≥ 4xy

Answer 2

Theo bài ra :4x²+4y²+6x+3≥4xy

⇔4x²+4y²+6x +3 -4xy≥0 ⇔ [x²-4xy+(2y)²] +3x²+6x+3≥0

⇔(x-2y)²+3(x²+2x+1)≥0  ⇔ (x-2y)² +3(x+1)²  ≥0 ,∀ x,y

vậy 4x²+4y²+6x+3≥4xy

Answer 3

$4x^2+4y^2+4xy>6y-4\left(1\right)$

$\iff 4x^2+4y^2+4xy-6y+4>0\left(2\right)$

$\iff 4x^2+4xy+y^2+3y^2-6y+3+1>0$

$\iff {(2x+y)}^2+3(y^2-2y+1)+1>0$

$\iff {(2x+y)}^2+3{(y-1)}^2+1>0$

$+){(2x+y)}^2\ge 0$

$3{(y-1)}^2\ge 0$

$\to {(2x+y)}^2+3{(y-1)}^2\ge 0$

$\to {(2x+y)}^2+3{(y-1)}^2+1\ge 1>0$

BĐT(2) luôn đúng

$\to$ BĐT(1) luôn đúng

Vậy $4x^2+4y^2+4xy>6y-4$

Answer 4

Ta có 4x^2 + 4y^2 + 6x + 3 \ge 4xy4x2+4y2+6x+3≥4xy

\Leftrightarrow (x^2 - 4xy + 4y^2) + 3(x^2 + 2x +1) \ge 0⇔(x2−4xy+4y2)+3(x2+2x+1)≥0

\Leftrightarrow (x-2y)^2 + 3(x +1)^2 \ge 0⇔ (x−2y)2+3(x +1)2≥0 (luôn đúng với mọi $x$, $y$).

Vậy với mọi $x$, $y$ ta có 4x^2 + 4y^2 + 6x + 3 \ge 4xy4x2+4y2+6x+3≥4xy.

Answer 5

Giả sử 4x² + 4y² + 6x + 3 ≥ 4xy ta có : 

 4x² + 4y² + 6x + 3 ≥ 4xy 

  \(\Leftrightarrow\)  4x² + 4y² + 6x + 3 - 4xy ≥ 0

  \(\Leftrightarrow\)  4x² + 4y² + 6x + 3 - 4xy ≥ 0

  \(\Leftrightarrow\)  4y² - 4xy + x² + 3x² + 6x +3 ≥ 0

  \(\Leftrightarrow\)  ( 4y² - 4xy + x² ) + 3 \(\times\) ( x² + 2x + 1 ) ≥ 0 

  \(\Leftrightarrow\)  ( 2y - x )² + 3 \(\times\) ( x + 1 )² ≥ 0

Mà ( 2y - x )² ≥ 0 và  ( x + 1 )²  ≥ 0 nên ( 2y - x )² + 3 \(\times\) ( x + 1 )² ≥ 0 ( đúng ) 

Vậy với mọi x,y thì 4x² + 4y² + 6x + 3 ≥ 4xy

Answer 6

Ta có 4�2+4�2+6�+3≥4��4x2+4y2+6x+3≥4xy

⇔(�2−4��+4�2)+3(�2+2�+1)≥0⇔(x2−4xy+4y2)+3(x2+2x+1)≥0

⇔ (�−2�)2+3(� +1)2≥0⇔ (x−2y)2+3(x +1)2≥0 

Answer 7

4x² + 4y² + 6x + 3 $\ge 4xy$

ta có : 4x² + 4y² + 6x + 3 - 4xy ≥ 0

(x² +  4y² - 4xy ) + (3x² + 6x + 3) ≥ 0

( x - 2y )² + 3(x+1)² ≥ 0 (*)

lại có : ( x - 2y )²  ≥ 0

            3(x+1)² ≥ 0

=> (*) luôn đúng với mọi x , y => 4x² + 4y² + 6x + 3 $\ge 4xy\; luôn\; đúng\; với\; mọi\; x\; ,\; y$
 

Answer 8

Ta có 4𝑥2+4𝑦2+6𝑥+3≥4𝑥𝑦4x2+4y2+6x+3≥4xy

⇔(𝑥2−4𝑥𝑦+4𝑦2)+3(𝑥2+2𝑥+1)≥0⇔(x2−4xy+4y2)+3(x2+2x+1)≥0

⇔ (𝑥−2𝑦)2+3(𝑥 +1)2≥0⇔ (x−2y)2+3(x +1)2≥0 (luôn đúng với mọi $x$, $y$).

Vậy với mọi $x$, $y$ ta có 4𝑥2+4𝑦2+6𝑥+3≥4𝑥𝑦4x2+4y2+6x+3≥4xy.

Answer 9

- Có: 4x² + 4y² + 6x + 3 ≥ 4xy

⇔ (x² - 4xy + 4y²) + (3x² + 6x +3) ≥ 0

⇔ (x - 2y)² + 3.(x+1)² ≥ 0

mà: (x - 2y)² ≥ 0; ∀x,y ϵ R và (x+1)² ≥ 0; ∀x,y ϵ R 

=> 4x² + 4y² + 6x + 3 ≥ 4xy ; ∀x,y ϵ R (đpcm) 

Answer 10

 4x2 + 4y2 + 6x + 3 ≥ 4xy

⇔ (x2 - 4xy + 4y2) + (3x2 + 6x +3) ≥ 0

⇔ (x - 2y)2 + 3.(x+1)2 ≥ 0

Do (x - 2y)2 ≥ 0 ∀x,y ϵ R và (x+1)2 ≥ 0 ∀x,y ϵ R 

=> 4x2 + 4y2 + 6x + 3 ≥ 4xy ; ∀x,y ϵ R (đpcm) 

Answer 11

Ta có: 4x² + 4y² + 6x + 3 ≥ 4xy

<=> 4x² + 4y² + 6x + 3 - 4xy ≥ 0

<=> x² + 4xy + 4y² + 3x² + 6x + 3 ≥ 0

<=> (x + 2y)² + 3(x + 1)² ≥ 0 (luôn đúng)

=> ∀x,y ϵ R, 4x² + 4y² + 6x + 3 ≥ 4xy

 

 

 

Answer 12

4x^2+4y^2+6x+3≥4xy

4y^2-4xy+x^2+3x^2+6x+3≥0

(2y+x)^2 +3(x^2+2x+1)≥0

(2y+x)^2 +3(x+1)^2≥0

=> đpcm

Answer 13

Ta có 4x² + 4x² + 6x + 3 ≥ 4xy

⇔ 4x² + 4y² + 6x + 3 - 4xy ≥ 0

⇔ x² + 3x² - 4xy + 4y² + 6x + 3 ≥ 0

⇔ (x² - 4xy + 4y²) + 3(x² + 2x + 1) ≥ 0

⇔ (x - 2y)² + 3 (x + 1)² ≥ 0 (luôn đúng)

Answer 14

(x²+4xy+4y²)+ 3( x²+2x+1) \(\ge\) 0

<=> (x+2y)² + 3.(x+1)²  \(\ge\) 0 \(\forall\) x , y

=> điều phải chứng minh

Answer 15

Ta có: \(4x^2\)+\(4y^2\)+6x+3 ≥ 4xy

⇔ \(x^2\)+\(3x^2\)+\(4y^2\)+6x+3-4xy ≥ 0

⇔ (\(x^2\)-4xy+\(4y^2\))+(\(3x^2\)+6x+3) ≥ 0

⇔ \(\left(x-2y\right)^2\)+3(\(x^2\)+2x+1) ≥ 0

⇔ \(\left(x-2y\right)^2\)+3\(\left(x+1\right)^2\) ≥ 0 (luôn đúng)

Do \(\left(x-2y\right)^2\) ≥ 0; \(\left(x+1\right)^2\) ≥ 0 ⇔ 3\(\left(x+1\right)^2\) ≥ 0

⇒ điều phải chứng minh

Vậy với mọi x,y ta có \(4x^2\)+\(4y^2\)+6x+3 ≥ 4xy

Answer 16

\(\forall\) x,y \(\in\) R, ta có:

đpcm <=> 4x²+4y²+6x+3 \(\ge\)4xy

            \(\Leftrightarrow\) 4x²+4y²+6x+3 - 4xy \(\ge\) 0

           <=> ( x² - 4xy + 4y² ) +3x² +6x +3 \(\ge\) 0

            <=>  (x - 2y )² + 3(x² + 2x +1 )  \(\ge\) 0

            <=>   (x - 2y )² +3(x+1)²  \(\ge\) 0    [ luôn đúng \(\forall\) x,y \(\in\)\(ℝ\) do (x-2y)² \(\ge\)0, 3(x+1)² \(\ge\)0 ]

          => đpcm

Answer 17

Vì vế trái y và x đều có mũ 2