Question

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì n⁵ và n lun có chữ số tận cùng giống nhau

Answer 1

                        Giải

Ta có:n⁵ - n = n(n⁴ - 1)

= n(n² - 1)(n² - 4 + 5)

= n(n² - 1)(n² - 4) + 5n(n² - 1)

= (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) + 5(n - 1)n(n + 1)

Ta thấy (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) là 5 số tự nhiên liên tiếp nên sẽ đồng thời chia hết cho 2 và cho 5. Hay là (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) sẽ chia hết cho 10 (1)

Ta lại co (n - 1)n(n + 1) là 3 số tự nhiên liên tiếp nên sẽ chia hết cho 2

=> 5(n - 1)n(n + 1) chia hết cho 10 (2)

Từ (1) và (2) => n⁵ - n chia hết cho 10 hay là co tận cùng là 0.

Vậy n⁵ và n luôn có chữ số tận cùng giống nhau.\(\left(đpcm\right)\)