Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
phan gia huy

chứng minh rằng với mọi n chẵn thì 

\(\frac{n}{12}+\frac{n^2}{8}+\frac{n^3}{24}\) là số nguyên

Trà My
27 tháng 9 2017 lúc 16:24

\(\frac{n}{12}+\frac{n^2}{8}+\frac{n^3}{24}=\frac{2n+3n^2+n^3}{24}=\frac{n^3+2n^2+n^2+2n}{24}=\frac{n^2\left(n+2\right)+n\left(n+2\right)}{24}\)

\(=\frac{\left(n^2+n\right)\left(n+2\right)}{24}=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{24}\)

Do n chẵn nên n=2k (k nguyên) => n+2=2k+2=2(k+1) => n(n+2)=2k.2(k+1)=4k(k+1)

k(k+1) là 2 số nguyên liên tiếp, trong đó có ít nhất 1 số chẵn nên k(k+1) chia hết cho 2 => 4k(k+1) chia hết cho 8

=>n(n+2) chia hết cho 8=>n(n+1)(n+2) chia hết cho 8 (1)

Mặt khác n;n+1;n+2 là 3 số nguyên liên tiếp nên trong đó có ít nhất 1 số chia hết cho 3 (tự chứng minh hoặc xem cách chứng minh trên mạng nhé)

=>n(n+1)(n+2) chia hết cho 3 (2)

Từ (1) và (2) và (3;8)=1 => n(n+1)(n+2) chia hết cho 3.8=24

=>\(\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{24}\) nguyên => đpcm


Các câu hỏi tương tự
Ngọc Hà
Xem chi tiết
Pox Pox
Xem chi tiết
hyun mau
Xem chi tiết
Hoàng Bảo Trân
Xem chi tiết
Ann Ann
Xem chi tiết
Hoàng Bảo Trân
Xem chi tiết
Nguyễn Tất Đạt
Xem chi tiết
Vũ Khánh Linh
Xem chi tiết
Tôi Là Ai
Xem chi tiết