Question

Chứng minh rằng với mọi a, b thuôc R luôn có :

\(\frac{a+b}{2}\cdot\frac{a^2+b^2}{2}\cdot\frac{a^3+b^3}{2}\le\frac{a^6+b^6}{2}\)

Answer 1

ta sẽ chứng minh với mọi x,y luôn có \(\frac{x+y}{2}\cdot\frac{x^3+y^3}{2}\le\frac{x^4+y^4}{2}\)(*)

thật vậy, (*) tương đương với \(\left(x+y\right)\left(x^3+y^3\right)\le2\left(x^4+y^4\right)\Leftrightarrow xy\left(x^2+y^2\right)\le x^4+y^4\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left[\left(\frac{x+y}{2}\right)^2+\frac{3y^2}{4}\right]\ge0\), luôn đúng

khi đó áp dụng (*) ta được

\(\frac{a+b}{2}\cdot\frac{a^2+b^2}{2}\cdot\frac{a^3+b^3}{2}=\left[\frac{a+b}{2}\cdot\frac{a^3+b^3}{2}\right]\cdot\frac{a^2+b^2}{2}\le\frac{a^4+b^4}{2}\cdot\frac{a^2+b^2}{2}\le\frac{a^6+b^6}{2}\)(đpcm)

dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b