Question

chứng minh rằng tổng lập phương của 3 số nguyên chia hết cho 6 khi tổng ba số đó chia hết cho sau ..

ví dụ: \(a^3+b^3+c^3\) chia hết cho 6 khi a + b + c c hia hết cho 6

Answer 1

ta có: \(a^3+b^3+c^3-\left(a+b+c\right)=\left(a^3-a\right)+\left(b^3-b\right)+\left(c^3-c\right).\)

                                                                     \(=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)+b\left(b-1\right)\left(b+1\right)+c\left(c-1\right)\left(c+1\right)\) (*)

mà \(a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\) là tích 3 số liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 2 và 1 số chia hết cho 3

=> \(a\left(a-1\right)\left(a+1\right)⋮6\)

tương tự :  \(b\left(b-1\right)\left(b+1\right)⋮6\)

    \(c\left(c-1\right)\left(c+1\right)⋮6\)

=> (*) chia hếtcho 6

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-\left(a+b+c\right)\) chia hết cho 6

mà theo bài ra ta có: \(a+b+c⋮6\)

nên  \(a^3+b^3+c^3⋮6\) => đpcm