Question

Chứng minh rằng tồn tai một bội của 17 tận cùng là 219

Answer 1

Để chứng minh  tồn tại 1 số là bội của 17 có tận cùng là 219. (1)

Ta chứng minh tồn tại số dạng 219219...219 (n bộ số 219) chia hết cho 17 (2)

Thật vậy lấy 18 số khác nhau dạng 219219...219 bằng cách thay các giá trị của n khác nhau. 

Nếu trong 18 số này có 1 số chia hết cho 17 thì (2) đúng => (1) đúngNếu không số nào trong 18 số này chia hết cho 17 thì : Do chỉ có 17 số dư có thể có khi chia 1 số cho 17 nên theo nguyên lý Directle thì trong 18 số dạng này có ít nhất 2 số có cùng số dư. Khi đó hiệu của 2 số này bằng:

219219...219 (k bộ số 219) - 219219...219(l bộ số 219) (k>l) chia hết cho 17

=> 219219...21900...000 (k-l) bộ số 219 và 3*l số 0 chia hết cho 17 

=> 219219...219*10^3l mà 10^3l không chia hết cho 17 

=> 219219...219 (k-l) bộ số 219 chia hết cho 3 => (2) đúng => (1) đúng. đpcm