a, TÍch hai số chẵn lt chia hết cho 8
Gọi hai số chẵn đó là 2a và 2a + 2 thì tích của chúng là:
2a[2a + 2] = 4a2 + 4a = 4[a2 + a] = 4[a[a+1]]
Mà a[a+1] là tích hai số nguyên liên tiếp nên chia hết cho hai và có dạng 2h
Vậy 2a[2a + 2] = 4.2h = 8h \(⋮8\)
Kết luận: ..................
b. Tích ba số chẵn lt chia hết cho 48
Gọi ba số chẵn lt là 2a, 2a+2 và 2a + 4 thì tích chúng là:
2a[2a + 2][2a + 4] = 8a[a+1][a+2]
Mà a[a + 1][a + 2] là tích ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3; lại có ít nhất 1 số chẵn nên chia hết cho 2. Mà ƯCLN của 3 và 2 là 1 nên a[a + 1][a + 2] chia hết cho 2.3 = 6 nên có dạng 6k
=> 2a[2a + 2][2a + 4] = 8.6k = 48k chia hết cho 48
Kết luận:....................
c. Tích 4 số chẵn liên tiếp chia hết cho 384
384=27.3
Gọi 4 số chẵn lt là : 2a, 2a +2, 2a+4 và 2a+6
Tích chúng là:
2a[2a+2][2a+4][2a+6] = 16a[a+1][a+2][a+3]
= 24.a[a+1][a+2][a+3]
Vậy bây giờ ta cần chứng minh a[a+1][a+2][a+3] chia hết cho 23.3
Như chứng minh trên, a[a+1][a+2] luôn chia hết cho 3 nên a[a+1][a+2][a+3] cũng chia hết cho 3
Tích của 4 số tự nhiên liên tiếp thì chắc chắn có 2 số chẵn liên tiếp. Trong 2 số chẵn liên tiếp chắc chắn có 1 số chia hết cho 4, số còn lại chia hết cho 2 => tích 4 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 8.
Mà ƯCLN của 3 và 8 = 1 nên a[a+1][a+2][a+3] chia hết cho 24 hay 23.3
Vậy 2a[2a+2][2a+4][2a+6] chia hết cho 384.
Kết luận:........................
d, D = 10n + 18n - 1 chia hết cho 27
D = 10n + 18n - 1
= 10n - 1 + 18n
= 999...99 + 18n [n chữ số 9]
= 9.11....111 + 9.2n [n chữ số 1]
= 9 [11111...11 + 2n]
Vậy ta cần cm [11111...11 + 2n] chia hết cho 3
Nếu n chia hết cho 3 thì 11111...11 + 2n chia hết cho 3
Nếu n chia 3 dư 1 thì 1111...11 chia 3 dư 1; 2n chia 3 dư 2 => 11111...11 + 2n chia hết cho 3
Nếu n chia 3 dư 1 thì 1111...11 chia 3 dư 2; 2n chia 3 dư 1 => 11111...11 + 2n chia hết cho 3
Vậy 11111...11 + 2n chia hết cho 3 và có dạng 3k
=> 9 [11111...11 + 2n] = 9.3k = 27k chia hết cho 27
=> D = 10n + 18n - 1 chia hết cho 27 => ĐPCM
