Gọi số chính phương là \(n^2\left(n\in N\right)\)
-Xét \(n=3k\left(k\in N\right)\Rightarrow n^2=\left(3k\right)^2=9k^2\) chia 3 dư 0
-Xét \(n=3k+1\left(k\in N\right)\Rightarrow n^2=\left(3k+1\right)^2=9k^2+6k+1\) chia 3 dư 1
-Xét \(n=3k+2\left(k\in N\right)\Rightarrow n^2=\left(3k+2\right)^2=9k^2+12k+4\) chia 3 dư 1
Vậy...
Gọi số chính phương đó có dạng là a2 (a thuộc N)
Nếu a chia hết cho 3 thì a2 cũng chia hết cho 3
Nếu a = 3k+1 (k thuộc N) thì a2=9k2+6k+1 chia cho 3 dư 1
Nếu a = 3k+2 (k thuộc N) thì a2 = 9k2+12k+4 chia cho 3 dư 1
Vậy a2 chia cho 3 dư 1 hoặc 0
=> đpcm (Một số chính phương chia cho 3 chỉ có dư là 1 hoặc 0)
Gọi số chính phương đó là m2 ( m là số tự nhiên ) .cho 3 thì m2
Do đó m chia cho 3 có 3 khả năng về số dư : 0 , 1 ,2 .
+) Nếu m chia hết cho 3 thì m2 chia hết cho 3 nên m2 chia cho 3 dư 0
+) Nếu m không chia hết cho 3 thì có 2 khả năng về số dư : 1 ,2 .
+) Nếu m chia cho 3 dư 1 thì :
m = 3k + 1 .
=> m2 = ( 3k + 1 ) . ( 3k + 1 )
= 9k2 + 6k + 1 .
= 3 . ( 3k2 + 2k ) + 1 .
=> m2 chia cho 3 dư 1 .
+) Nếu m chia cho 3 dư 2 thì :
=> m = 3k + 2
=> m2 = ( 3k + 2 ) . ( 3k + 2 )
= 9k2 + 12k + 4 .
= 3 . ( 3k2 + 4k + 1 ) + 1
=> m2 chia 3 dư 1 .
Vậy bài toán đươc chứng minh .
