Question

Chứng minh rằng nếu \(a;b;c;\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\) là các số hữu tỉ thì \(\sqrt{a};\sqrt{b};\sqrt{c}\) là các số hữu tỉ

Answer 1

Nguyễn Huy Tú Akai Haruma

Answer 2

Đặt x=\(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\)

\(\Rightarrow x-\sqrt{a}=\sqrt{b}+\sqrt{c}\)

\(\Rightarrow\left(x^2+a-b-c\right)-2x\sqrt{a}=2\sqrt{bc}\)

\(\Rightarrow\left(x^2+a-b-c\right)^2+4ax^2-4x\left(x^2+a-b-c\right)\sqrt{a}=4bc\)

\(\Rightarrow\sqrt{a}=\dfrac{\left[\left(x^2+a-b-c\right)+4ax^2-4bc\right]}{\left[4x\left(x^2+a-b-c\right)\right]}\)\(\in Q\)

Vậy \(\sqrt{a};\sqrt{b};\sqrt{c}\) là các số hữu tỷ