Question

chứng minh rằng nếu a lẻ,a không chia hết cho 3 thì a^2-1 chia hết cho 6

 

Answer 1

+) Do a lẻ => a² lẻ => a² - 1 chẵn => a² - 1 chia hết cho 2 (1)

+) Do a không chia hết cho 3 => a = 3k + 1 hoặc a = 3k + 2 (k thuộc N)

Nếu: a = 3k + 1 thì a² = (3k + 1).(3k + 1)

                                   = (3k + 1).3k + (3k + 1) 

                                   = 9k² + 3k + 3k + 1 : 3 dư 1

Nếu: a = 3k + 2 thì a² = (3k + 2).(3k + 2)

                                   = (3k + 2).3k + (3k + 2)

                                   = 9k² +  6k + 6k + 4 : 3 dư 2

=> a² chia 3 dư 1 => a² - 1 chia hết cho 3 (2)

Từ (1) và (2), do: (2;3) = 1 => a² - 1 chia hết cho 6. 

=> ĐPCM

Answer 2

Ta có : a^2 - 1 = a^2 - a + a -1 = a x ( a - 1 ) + ( a - 1) = (a - 1) x (a +1 )

Vì a là số lẻ nên a +1 là số chẵn . Suy ra : (a - 1) x (a +1 ) chia hết cho 2 (1)

Mặt khác : a không chia hết cho 3 nên a có thể có dạng 3k+1 hoặc 3k+2

+ Nếu a = 3k+1

Suy ra : a - 1= 3k+1 - 1 = 3k chia hết cho 3

+ Nếu a = 3k+2

Suy ra : a + 1= 3k+2 + 1  = 3k + 3 chia hết cho 3

Suy ra : (a - 1) x (a +1 ) chia hết cho 3 (2)

Vì (a - 1) x (a +1 ) chia hết cho 2 và 3 . Mà 2 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau nên chúng chia hết cho 2.3=6

Vậy : (a - 1) x (a +1 ) chia hết cho 6 (đpcm)