Question

Chứng minh rằng nếu a là một số lẻ không chia hết cho 3 thì a   ² -1 chia hết cho 6

Answer 1

\(\)+ ) Vì a lẻ nên a²là số lẻ suy ra a²-1 là số chẵn

Do đó (a²-1) chia hết cho 2 . Ta gọi đây là kết quả (1)

+) Vì a không chia hết cho 3 nên a=3k+1 hoặc a=3k+2 (k thuộc N )

- Với a=3k+1 ta có:

   a² -1= ( 3k+1 )² - 1

          = ( 3k+1 ) * ( 3k+1 ) - 1

          = ( 3k+1 ) * 3k + ( 3k+1 ) * 1 - 1

          = 9k²  + 3k + 3k + 1- 1

          = 9k² + 6k chia hết cho 3 ( vì 9 và 6 chia hết cho 3 )

- Với a=3k+2 ta có :

   a² -1= ( 3k+2 )² - 1

          = ( 3k+2 ) * ( 3k+2 ) - 1

          = ( 3k+2 ) * 3k +( 3k+2 ) * 2 -1

          = 9k² + 6k + 6k +4 - 1

          = 9k² + 12k + 3 chia hết cho 3 ( vì 9;12 và 3 chia hết cho 3 )

   Do đó (  a² - 1 ) chia hết cho 3 . Ta gọi đây là kết quả (2).

- Từ (1) và (2) ta có ước chung lớn nhất của 2 và 3 bằng 1.

- Suy ra ( a² - 1 ) chia hết cho 2 nhân 3 hay ( a² - 1 ) chia hết cho 6