Question

Chứng minh rằng nếu $a \ge b$, $x \ge y$ thì $\dfrac{ax + by}2 \ge \dfrac{a + b}2 . \dfrac{x + y}2$.

Answer 1

ta có :

\(\frac{ax+by}{2}\ge\frac{a+b}{2}.\frac{x+y}{2}\Leftrightarrow2\left(ax+by\right)\ge\left(a+b\right)\left(x+y\right)\)

\(\Leftrightarrow2\left(ax+by\right)\ge ax+ay+bx+by\)

\(\Leftrightarrow ax-ay+by-bx\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(x-y\right)\ge0\)

Điều này đúng do giả thuyết \(a\ge b,x\ge y\)

Answer 2

ta có \(\dfrac{ax+by}{2}\) ≥ \(\dfrac{a+b}{2}\). \(\dfrac{x+y}{2}\)

<=> 2(ax + by) ≥ (a + b)(x + y)

<=> 2(ax + by) ≥ ax + ay + bx + by

<=> ax + by - ay - bx ≥ 0

<=> (a - b)(x - y) ≥ 0 (luôn đúng vì giả thiết a ≥ b và x ≥ y)

vậy nếu a ≥ b, x ≥ y thì \(\dfrac{ax+by}{2}\) ≥ \(\dfrac{a+b}{2}\). \(\dfrac{x+y}{2}\)

Answer 3

Ta có \dfrac{ax + by}2 \ge \dfrac{a + b}2 . \dfrac{x + y}22ax+by​≥ 2a+b​. 2x+ y​

$\iff 2(ax+by)\ge (a+b)(x+y)$

$\iff 2(ax+by)\ge ax+ay+bx+by$

$\iff ax+by-ay-bx\ge 0$

$\iff (a-b)(x-y)\ge 0$ (luôn đúng vì giả thiết $a\ge b$ và $x\ge y$).

Vậy nếu $a\ge b$, $x\ge y$ thì \dfrac{ax + by}2 \ge \dfrac{a + b}2 . \dfrac{x + y}22ax+by​≥ 2a+b​. 2x+ y​.

Answer 4

Ta có \dfrac{ax + by}2 \ge \dfrac{a + b}2 . \dfrac{x + y}22ax+by​≥ 2a+b​. 2x+ y​

$\iff 2(ax+by)\ge (a+b)(x+y)$

$\iff 2(ax+by)\ge ax+ay+bx+by$

$\iff ax+by-ay-bx\ge 0$

$\iff (a-b)(x-y)\ge 0$ (luôn đúng vì giả thiết $a\ge b$ và $x\ge y$).

Vậy nếu $a\ge b$, $x\ge y$ thì \dfrac{ax + by}2 \ge \dfrac{a + b}2 . \dfrac{x + y}22ax+by​≥ 2a+b​. 2x+ y​.

Answer 5

 Với \(a\ge b,x\ge y\) ta có : 

       Giả sử : \(\dfrac{ax+by}{2}\ge\dfrac{a+b}{2}\times\dfrac{x+y}{2}\)

               \(\Leftrightarrow\)   \(\dfrac{ax+by}{2}-\left(\dfrac{a+b}{2}\times\dfrac{x+y}{2}\right)\ge0\)

               \(\Leftrightarrow\)   \(\dfrac{ax+by}{2}-\left[\dfrac{\left(a+b\right)\times\left(x+y\right)}{4}\right]\ge0\)

               \(\Leftrightarrow\)   \(\dfrac{ax+by}{2}-\left(\dfrac{ax+ay+bx+by}{4}\right)\ge0\)

               \(\Leftrightarrow\)   \(\dfrac{ax+by}{2}+\dfrac{-ax-ay-bx-by}{4}\ge0\)

               \(\Leftrightarrow\)   \(\dfrac{2\times\left(ax+by\right)-ax-ay-bx-by}{4}\ge0\)

               \(\Leftrightarrow\)   \(\dfrac{2ax+2by-ax-ay-bx-by}{4}\ge0\)

               \(\Leftrightarrow\)   \(\dfrac{ax+by-ay-bx}{4}\ge0\)

               \(\Leftrightarrow\)   \(\dfrac{a\times\left(x-y\right)-b\times\left(x-y\right)}{4}\ge0\)

               \(\Leftrightarrow\)   \(\dfrac{\left(a-b\right)\times\left(x-y\right)}{4}\ge0\) (đúng) (vì \(a\ge b,x\ge y\))

Vậy nếu \(a\ge b,x\ge y\) thì \(\dfrac{ax+by}{2}\ge\dfrac{a+b}{2}\times\dfrac{x+y}{2}\)

               

Answer 6

Ta có ��+��2≥ �+�2. �+ �22ax+by​≥ 2a+b​. 2x+ y​

$\iff 2(ax+by)\ge (a+b)(x+y)$

$\iff 2(ax+by)\ge ax+ay+bx+by$

$\iff ax+by-ay-bx\ge 0$

$\iff (a-b)(x-y)\ge 0$ 

Answer 7

Ta có ��+��2≥ �+�2. �+ �22ax+by​≥ 2a+b​. 2x+ y​

$\iff 2(ax+by)\ge (a+b)(x+y)$

$\iff 2(ax+by)\ge ax+ay+bx+by$

$\iff ax+by-ay-bx\ge 0$

$\iff (a-b)(x-y)\ge 0$ 

Answer 8

Ta có 𝑎𝑥+𝑏𝑦2≥ 𝑎+𝑏2. 𝑥+ 𝑦22ax+by​≥ 2a+b​. 2x+ y​

$\iff 2(ax+by)\ge (a+b)(x+y)$

$\iff 2(ax+by)\ge ax+ay+bx+by$

$\iff ax+by-ay-bx\ge 0$

$\iff (a-b)(x-y)\ge 0$ (luôn đúng vì giả thiết $a\ge b$ và $x\ge y$).

Vậy nếu $a\ge b$, $x\ge y$ thì 𝑎𝑥+𝑏𝑦2≥ 𝑎+𝑏2. 𝑥+ 𝑦22ax+by​≥ 2a+b​. 2x+ y​.

Answer 9

Ta có:

 \(\dfrac{ax+by}{2}\ge\dfrac{a+b}{2}\cdot\dfrac{x+y}{2}\\ \Leftrightarrow\dfrac{ax+by}{2}\ge\dfrac{\left(a+b\right)\left(x+y\right)}{4}\\ \Leftrightarrow2\left(ax+by\right)\ge ax+ay+bx+by\\ \Leftrightarrow2ax+2by-ax-ay-bx-by\ge0\\ \Leftrightarrow ax+by-ay-bx\ge0\\ \Leftrightarrow a\left(x-y\right)-b\left(x-y\right)\ge0\\ \Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(x-y\right)\ge0\)

Mà a ≥ b, x ≥ y => (a - b)(x - y) ≥ 0 luôn đúng

Answer 10

5

Answer 11

bắt đầu bằg việc mở rộng hai vế của bất đẳg thức

Answer 12

K bt

Answer 13

1