Question

Chứng minh rằng:

 \(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}-\frac{1}{16}+\frac{1}{32}-\frac{1}{64}\)< \(\frac{1}{3}\)

Answer 1

Đặt A=\(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}-\frac{1}{16}+\frac{1}{32}-\frac{1}{64}\)

2A=\(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+\frac{1}{16}-\frac{1}{32}\)

2A+A=\(1-\frac{1}{64}\)

3A=\(1-\frac{1}{64}<1\)

\(\Rightarrow3A<1\)

\(\Rightarrow A<\frac{1}{3}\)

Answer 2

Dat A = 1/2 - 1/4 + 1/8  - 1/16 + 1/32 - 1/64

                     A = 1/2 - 1/2² + 1/2³ - 1/2⁴  +1/2⁵ - 1/2⁶

                      2A = 1 - 1/2 + 1/2² - 1/2³ + 1/2⁴ - 1/2⁵

                       A + 2A = (1/2 - 1/2² + 1/2³ - 1/2⁴  + 1/2⁵ - 1/2⁶) + (1 - 1/2 + 1/2² - 1/2³ + 1/2⁴ - 1/2⁵)

                        3A = 1 - 1/2⁶ = 63/64    SUY RA A = 63/64 : 3 = 21/64

                        MÀ 21/64 < 21/63 = 1/3 NÊN A <1/3