Question

Chứng minh rằng các số 3^n+4 không là số chính phương

Answer 1

Giả sử 3ⁿ+4 là SCP => 3ⁿ+4=a²

Mà 3 nâng lên lũy thừa bao nhiêu cũng có tận cùng là 1 số lẻ, mà số lẻ+số chẵn=số lẻ nên a² là số lẻ

=> a là số lẻ

=> a có dạng 4k+1 hoặc 4k+3

+) Nếu a=4k+1 thì a²=(4k+1)²=(4k+1)(4k+1)=16k²+8k+1=8m+1

+) Nếu a=4k+3 thì a²=(4k+3)²=(4k+3)(4k+3)=16k²+24k+9=8m+1

Vậy a²=8m+1          (1)

Mặt khác, nếu n chẵn thì 3ⁿ+4=3^2k+4=9^k+4=(8+1)^k.3+4=8h+1+4=8h+5    (trái với 1)

nếu n lẻ thì n=2k+1=>3ⁿ+4=3^2k+1+4=9k.3+4=(8+1)^k.3+4=(8k+1).3+4=8h+1      (trái với 1)

  Vậy 3ⁿ+4 không thể là SCP

tick nha!