Question

Chứng minh rằng 

B=n^4+2n^3-n^2-2n chua hết cho 24với mọi x thuộc Z

Answer 1

n(n^3+2n^2-n-2)

n(n-2)(n-1)(n+1)

Answer 2

\(n^4+2n^3-n^2-2n\)

\(=n\left(n^3+2n^2-n-2\right)\)

\(=n\left[n^2\left(n+2\right)-\left(n+2\right)\right]\)

\(=n\left[\left(n^2-1\right)\left(n+2\right)\right]\)

\(=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

Tích 4 số liên tiếp chia hết cho 4 nên \(\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮4\)

Dễ c/m \(\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮2\)

và \(\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮3\)

Mà (2,3,4) = 1 nên \(n^4+2n^3-n^2-2n⋮24\left(đpcm\right)\)