Question

Chứng minh rằng bình phương của 1 số hữu tỉ là 1 số nguyên thì số đó là số nguyên

Answer 1

Giả sử số hữu tỉ có dạng \(\frac{a}{b}\) (a, b thuộc Z, dạng tối giản)
Bình phương của nó là: \(\frac{a^2}{b^2}=k\) (k là 1 số nguyên dương)

\(\Rightarrow a^2=kb^2\)

+Nếu k là một số chính phương (=m²) thì khai căn của nó là một số nguyên (thỏa đề bài)

+Nếu k không phải là một số chính phương, thì \(\sqrt{k}\) là một số vô tỉ.

\(\Rightarrow a^2=\left(\sqrt{k}.b\right)^2\Rightarrow a=\sqrt{k}.b\) hoặc \(a=-\sqrt{k}.b\)

Mà a, b là 2 số nguyên => \(\sqrt{k}\) là một số nguyên (vô lí, vì \(\sqrt{k}\) là số vô tỉ)

\(\Rightarrow\) k buộc phải là một số chính phương
Bình phương của 1 số là số chính phương, do đó nó là một số nguyên!