Question

chứng minh rằng A = n⁶-n⁴+2n³+2n² với \(n\in N;n>1\)không phải số chính phương

Answer 1

A = n⁴.(n² - 1) + 2n².(n+1) = n⁴.(n+1).(n-1) + 2n².(n + 1) = n²(n + 1). (n².(n -1) + 2)

=  n²(n + 1).(n³ - n² + 2) =  n²(n + 1).(n³ + 1 + 1 - n²) =  n²(n + 1).(n +1). (n² - n + 1 - n + 1) =  n²( n + 1)².(n² - 2n + 2)

Với n > 1 => n² - 2n +  1 < n² - 2n + 2 < n² 

               => (n - 1)² < n² - 2n + 2 < n²  

(n - 1)² ;  n² là 2 số chính phương liên tiếp  => n² - 2n + 2 không thể là số chính phương

=> A không là số chính phương

Answer 2

mình ko biết

Answer 3

`n<sup>6</sup> - n<sup>4</sup> + 2n<sup>3</sup> + 2n<sup>2`</sup>
`= n<sup>2</sup> . (n<sup>4</sup> - n<sup>2</sup> + 2n +2)`
`= n<sup>2</sup> . [n<sup>2</sup>(n - 1)(n + 1) + 2(n + 1)]`
`= n<sup>2</sup> . [(n + 1)(n<sup>3</sup> - n<sup>2</sup> + 2)]`
`= n<sup>2</sup> . (n + 1) . [(n<sup>3</sup> + 1) - (n<sup>2</sup> - 1)]`
`= n<sup>2</sup>. (n + 1)<sup>2</sup> . (n<sup>2</sup> - 2n + 2)`
Với `n ∈ N, n > 1` thì` n<sup>2</sup> - 2n + 2 = (n - 1)<sup>2</sup> + 1 > (n - 1)<sup>2`</sup>
Và `n<sup>2</sup> - 2n + 2 = n<sup>2</sup> - 2(n - 1) < n<sup>2`</sup>
Vậy `(n - 1)<sup>2</sup> < n<sup>2</sup> - 2n + 2 < n<sup>2`</sup>
`=> n<sup>2</sup> - 2n + 2` không phải là một số chính phương.