Question

Chung minh rang: 2²ⁿ. (2²ⁿ⁺¹-1) -1 chia hết cho 9 với mọi số tự nhiên n 

Answer 1

\(2^{2n}\left(2^{2n+1}-1\right)-1=2.16^n-4^n-1\)

#Chứng minh quy nạp: \(2.16^n-4^n-1\) chia hết cho 9 (1)
+Với n = 1; 2; 3 thì (1) đúng.
+Giả sử (1) đúng với n = k , tức là \(2.16^k-4^k-1\)\(\left(k\ge1\right)\) chia hết cho 9.
Ta chứng minh (1) đúng với n = k+1, tức là chứng minh số sau chia hết cho 9:
\(2.16^{k+1}-4^{k+1}-1=16.2.16^k-4.4^k-1\)

\(=16\left(2.16^k-4^k-1\right)+12.4^k+15\)
\(\text{Mà }2.16^k-4^k-1\text{ chia hết cho 9 nên ta cần chứng minh }12.4^k+15\text{ chia hết cho 9, hay }4.4^k+5\text{ chia hết cho 3}\)

#Quy nạp phụ: \(4.4^n+5\)chia hết cho 3 (2)
+n = 1; 2; 3 thì (2) đúng
+Giả sử (2) đúng với n = k, tức là 4.4^k + 5 chia hết cho 3.
Ta chứng minh (2) đúng với n = k+1, tức là chứng minh số sau chia hết cho 3:
4.4^k+1 + 5 = 4.4.4^k  + 5 = 4(4.4^k + 5) - 15 chia hết cho 3 vì 4.4^k + 5 chia hết cho 3 và 15 chia hết cho 3.
Vậy 4.4ⁿ + 5 chia hết cho 3 với mọi n.

=> 12.4^k + 15 chia hết cho 9
Mà 2.16^k - 4^k - 1 chia hết cho 9
=> 16.(2.16^k - 4^k -1) + 12.4^k + 15 chia hết cho 9

Vậy \(2.16^n-4^n-1\) chia hết cho 9 với mọi số tự nhiên n (đpcm)