Question

Chứng minh phương trình sau luôn có nghiệm với mọi m, n

\(y=x^2\left(2m^2+3+n^2\right)-x\left(m-2m+1\right)-m^2+2mn-n^2-2=0\)

Answer 1

Ta có: 2m² + 3 + n² > 0 . Xét:

\(\Delta=\left(m-1\right)^2+4\left(2m^2+n^2+3\right)\left(m^2-2mn+n^2+2\right)\)

\(=m^2-2m+1+4\left(2m^4-4m^3n+3m^2n^2+2m^2-2mn^3+n^4+5n^2+3m^2-6mn+6\right)\)

\(=m^2-2m+1+8m^4-16m^3n+12m^2n^2+8m^2-8mn^3+4n^4+20n^2+12m^2-26mn+24\)\(=8m^4+4n^4-16m^3n-8mn^3+12m^2n^2+21m^2+20n^2-26mn-2m+25\)

 

Answer 2

đồng ý kiến với Tạ Duy Phương

Answer 3

Khi ac < 0  thì PT có nghiệm vì khi đó  \(\Delta=b^2-4ac>0\)

Ta có: 2m² + n² + 3 > 0 

\(-m^2+2mn-n^2-2=-2-\left(m-n\right)^2<0\)

=> đpcm