Cho tam giác ABC với AM, BN, CP là các đường trung tuyến. G là trọng tâm.
Khi đó do AM , BN, CP đều bé hơn 1 nên AG, BG, CG đều nhỏ hơn \(\frac{2}{3}\) GM; GN; GP đều nhỏ hơn \(\frac{1}{3}.\)
Gọi độ dài các đường cao hạ từ B và C xuống AM lần lượt là x và y.
Ta có: \(S_{ABC}=S_{ABG}+S_{AGC}+S_{BGM}+S_{CGM}\)
\(=\frac{1}{2}AG.x+\frac{1}{2}AG.y+\frac{1}{2}GM.x+\frac{1}{2}GM.y\)
\(< \frac{1}{2}\frac{2}{3}.x+\frac{1}{2}.\frac{2}{3}.y+\frac{1}{2}.\frac{1}{3}.x+\frac{1}{2}.\frac{1}{3}.y\)
\(=\frac{1}{2}\left(x+y\right)\)
Lại thấy x, y là độ dài các đường vuông góc nên nhỏ hơn độ dài đường xiên. Hay \(x< BG< \frac{2}{3};y< GC< \frac{2}{3}\)
Vậy \(S_{ABC}< \frac{1}{2}\left(x+y\right)< \frac{1}{2}\left(\frac{2}{3}+\frac{2}{3}\right)=\frac{2}{3}< 0,67.\)
Vậy \(S_{ABC}< 0,67\left(đpcm\right)\)
