CHÚ Ý: Tỷ số về diện tích bằng bình phương tỷ số đồng dạng
Áp dụng:
\(k=\frac{AB}{MN}=\frac{AC}{MP}=\frac{BC}{NP}=\frac{AB+BC+CA}{MN+NP+PM}=\frac{P_{ABC}}{P_{MNP}}\)
Vậy => \(\frac{S_{ABC}}{S_{MNP}}=k^2=\left(\frac{P_{ABC}}{P_{MNP}}\right)^2\)
ĐPCM
AM = MN = NP ; BP = PQ = QC nên AM = 1/3 AD ; MN = 1/2 MD ; QC = 1/3 BC ; PQ = 1/2 BQ
\(\Delta ABM,\Delta ABD\)có chung đường cao hạ từ B và đáy AM = 1/3 AD nên SABM = 1/3 SABD
\(\Delta QCD,\Delta BCD\)có chung đường cao hạ từ D và đáy QC = 1/3 BC nên SQCD = 1/3 SBCD
=> SMBQD = SABCD - (SABM + SQCD) = SABCD - 1/3 x (SABD + SBCD) = SABCD - 1/3 SABCD = 2/3 SABCD
\(\Delta MNQ,\Delta MDQ\)có chung đường cao hạ từ Q và đáy MN = 1/2 MD nên SMNQ = 1/2 SMDQ
\(\Delta MPQ,\Delta MBQ\)có chung đường cao hạ từ M và đáy PQ = 1/2 BQ nên SMPQ = 1/2 SMBQ
=> SMNQP = SMNQ + SMPQ = 1/2 x (SMDQ + SMBQ) = 1/2 x SMBQD = 1/2 x 2/3 x SABCD = 1/3 x 600 = 200 (cm2)
Gọi số kg gạo ở 2 bao lần lượt là 3a và a thì số kg gạo ở 2 bao sau đó lần lượt là 3a - 30 và a + 25 (ĐK : a > 10).Theo đề :
\(3a-30=\frac{2}{3}\left(a+25\right)\Leftrightarrow3a-30=\frac{2}{3}a+\frac{50}{3}\Leftrightarrow3a-\frac{2}{3}a=\frac{50}{3}+30\)
\(\Leftrightarrow\frac{7}{3}a=\frac{140}{3}\Leftrightarrow a=20\left(tmđk\right)\Leftrightarrow3a=60\)
Vậy lúc đầu số gạo ở bao I là 60 kg,bao II là 20 kg
ĐKXĐ :\(x\ne2;-10\)
Ta có : x2 + 8x - 20 = (x2 + 10x) - (2x + 20) = x(x + 10) - 2(x + 10) = (x - 2)(x + 10)
TH1 : x - 2 > 0 hay x > 2 =>\(\left|x-2\right|=x-2\Rightarrow A=\frac{x}{x+10}\)
TH2 : x - 2 < 0 hay x < 2\(\left(x\ne-10\right)\Rightarrow\left|x-2\right|=2-x\Rightarrow A=-\frac{x}{x+10}\)
Ta có :\(\frac{1}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}=\frac{1}{2}.\frac{\left(n+2\right)-n}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}=\frac{1}{2}.\left[\frac{1}{n\left(n+1\right)}-\frac{1}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\right]\)
Áp dụng vào bài toán,ta có :
\(\frac{1}{2}B=\frac{1}{1.2}-\frac{1}{2.3}+\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4}+\frac{1}{3.4}-\frac{1}{4.5}+...+\frac{1}{n\left(n+1\right)}-\frac{1}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\)
\(=\frac{1}{2}-\frac{1}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\)
\(\Rightarrow B=1-\frac{2}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\)
a)\(\Delta CAE,\Delta CBF\)lần lượt vuông tại E,F có\(\widehat{ACE}=\widehat{BCF}\)(CF là phân giác góc ACB)
\(\Rightarrow\Delta CAE~\Delta CBF\left(gn\right)\Rightarrow\frac{CE}{CF}=\frac{AC}{BC}\).
Áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác vào phân giác CI của\(\Delta ABC\),ta có\(\frac{AC}{BC}=\frac{AI}{IB}\)
AE,BF cùng vuông góc với CF nên\(\Delta BFI\)có AE // BF\(\Rightarrow\frac{AI}{IB}=\frac{IE}{IF}\)(hệ quả định lí Ta-lét)\(\Rightarrow\frac{CE}{CF}=\frac{IE}{IF}\)
b) Ta có\(\widehat{CAD}=\widehat{ABC}\)(cùng phụ với góc ACB)
\(\Delta ACD,\Delta BCA\)lần lượt vuông tại D,A có\(\widehat{CAD}=\widehat{CBA}\Rightarrow\Delta ACD~\Delta BCA\left(gn\right)\Rightarrow\frac{AC}{BC}=\frac{CD}{CA}\)
=> AC2 = BC.CD
Áp dụng định lí Pitago vào\(\Delta ABC\)vuông tại A,ta có AB2 = BC2 - AC2 = BC2 - BC.CD = BC.(BC - CD) = BC.BD
\(\Rightarrow\frac{AC^2}{AB^2}=\frac{CD.CB}{BC.BD}=\frac{CD}{BD}\)
Gọi số ngày dự định xong kế hoạch của bác thợ là x thì số sản phẩm cần làm là 10x.Sau khi cải tiến kĩ thuật,bác đã làm được 10x + 12 sản phẩm với năng suất 14 sản phẩm/ngày trong x - 2 ngày,tức làm được 14(x - 2) sản phẩm (ĐK : x > 2) .Ta có phương trình :
\(10x+12=14\left(x-2\right)\Leftrightarrow10x+12=14x-28\Leftrightarrow10x-14x=-28-12\)
\(\Leftrightarrow-4x=-40\Leftrightarrow x=10\left(tmđk\right)\Leftrightarrow10x=100\)
Vậy bác thợ dự định làm 100 sản phẩm
a) Phần diện tích tăng thêm là\(\Delta ACK\)có diện tích 36 dm2,đáy CK = 5 dm và có chung đường cao hạ từ A với\(\Delta ABC\)
Đường cao đó dài : 36 x 2 : 5 = 14,4 (dm)
Diện tích tam giác ABC là : 35 x 14,4 : 2 = 252 (dm2)
b)\(\Delta CBM,\Delta MCK\)có chung đường cao hạ từ M và có đáy BC = 7 x CK (vì 35 = 7 x 5) nên SCBM = 7 SMCK
Xét mẫu số của biểu thức,ta có :
\(1006-\frac{1006}{1007}-\frac{1007}{1008}-\frac{1008}{1009}-...-\frac{2010}{2011}-\frac{2011}{2012}\)
\(=1006-\left(1-\frac{1}{1007}\right)-\left(1-\frac{1}{1008}\right)-\left(1-\frac{1}{1009}\right)-...-\left(1-\frac{1}{2011}\right)-\left(1-\frac{1}{2012}\right)\)
\(=1006-1006+\frac{1}{1007}+\frac{1}{1008}+\frac{1}{1009}+...+\frac{1}{2011}+\frac{1}{2012}\)
\(=\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2012}\right)-\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{1006}\right)\)
\(=\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2012}\right)-2.\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{2012}\right)\)
\(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+...+\frac{1}{2011}-\frac{1}{2012}\)
Vì tử bằng mẫu nên biểu thức bằng 1
