Vì n chẵn => n=2k(k là số nguyên )
Ta có n^3+20n=8k^3+40k=8(k^3-1) +48k
Để cm n^2+20n chia hết cho 48 mà 48k chia hết cho 48 (do k là số nguyên)
, ta phải cm 8(k^3-1) chia hết cho 48 hay k^3-1 chia hết cho 6 ( đây là bổ đề nha)
Thật vậy k^3-1=k(k-1)(k+1)
Trong 3 số này có 2 số nguyên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 2 => tích 3 số này chia hết cho 2
MÀ 3 số này là 3 số nguyên liên tiếp => tích 3 sô này chia hết cho 3
Mặt khác (2,3)=1
=> k(k-1)(k+1) chia hết cho 6
hay k^3-1 chia hết cho 6 (dpcm)
m^3 + 3m^2 - m - 3
= m^2.(m + 3) - (m + 3)
= (m^2 - 1)(m + 3)
= (m - 1)(m + 1)(m + 3)
Vì m là số nguyên lẻ nên (m - 1)(m + 1)(m + 3) là tích 3 số nguyên chẵn liên tiếp
Do đó (m - 1)(m + 1)(m + 3) chia hết cho 16 (1)
(m - 1)(m + 1)(m + 3) chia hết cho 3 (2)
Từ (1) và (2) mà (16;3)=1 nên (m - 1)(m + 1)(m + 3) chia hết cho 48
=> m^3 + 3m^2 - m - 3 chia hết cho 48 (đpcm)
