Ta có : \(VT=\frac{\left(2a+2b-c\right)^2+\left(2b+2c-a\right)^2+\left(2c+2a-b\right)^2}{9}\)
\(=\frac{4a^2+4b^2+8ab+c^2-4ac-4ab+4b^2+4c^2+8bc+a^2-4ba-4bc+4c^2+4a^2+8ac+b^2-4bc-4ab}{9}\)\(=\frac{9\left(a^2+b^2+c^2\right)}{9}=a^2+b^2+c^2=VP\)
Vậy ta có đẳng thức:
\(\left(\frac{2a+2b-c}{3}\right)^2+\left(\frac{2b+2c-a}{3}\right)^2+\left(\frac{2c+2a-b}{3}\right)^2=a^2+b^2+c^2\)
Chứng minh rằng :
\(\left(\frac{2a+2b-c}{3}\right)^2+\left(\frac{2b+2c-a}{3}\right)^2+\left(\frac{2c+2a-b}{3}\right)^2=a^2+b^2+c^2\)
với các số dương a,b,c chứng minh rằng
\(\frac{a^3}{\left(b+2c\right)^2}+\frac{b^3}{\left(c+2a\right)^2}+\frac{c^3}{\left(a+2b\right)^2}\ge\frac{2}{9}\left(a+b+c\right)\)
a) Chứng minh hằng đẳng thức sau :
\(\frac{1}{a-2b}+\frac{6b}{4b^2-a^2}-\frac{2}{a+2b}=-\frac{1}{2a}\left(\frac{a^2+4b^2}{a^2-4b^2}+1\right)\)
b) Chứng minh hằng đẳng thức Ơle sau :
\(a^3+b^3+\left(\frac{b\left(2a^3+b^3\right)}{a^3-b^3}\right)^3=\left(\frac{a\left(a^3+2b^3\right)}{a^3-b^3}\right)^3\)
Cho: \(a^2+b^2+c^2=\frac{k}{3};\); tính giá trị biểu thức A theo k: \(A=\left(2a+2b-c\right)^2+\left(2b+2c-a\right)^2+\left(2c+2a-b\right)^2\)
Giúp mình với! Mình đang cần gấp. Các bạn làm được bài nào thì giúp đỡ mình nhé! Cảm ơn!
Bài 1: Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng:
\(\frac{a^2}{\sqrt{\left(2a^2+b^2\right)\left(2a^2+c^2\right)}}+\frac{b^2}{\sqrt{\left(2b^2+c^2\right)\left(2b^2+a^2\right)}}+\frac{c^2}{\sqrt{\left(2c^2+a^2\right)\left(2c^2+b^2\right)}}\le1\).
Bài 2: Cho các số thực dương a,b,c,d. Chứng minh rằng:
\(\frac{a-b}{a+2b+c}+\frac{b-c}{b+2c+d}+\frac{c-d}{c+2d+a}+\frac{d-a}{d+2a+b}\ge0\).
Bài 3: Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh rằng:
\(\frac{\sqrt{b+c}}{a}+\frac{\sqrt{c+a}}{b}+\frac{\sqrt{a+b}}{c}\ge\frac{4\left(a+b+c\right)}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\).
Bài 4:Cho a,b,c>0, a+b+c=3. Chứng minh rằng:
a)\(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\ge1\).
b)\(\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+a^2}\ge\frac{3}{2}\).
c)\(\frac{a+1}{b^2+1}+\frac{b+1}{c^2+1}+\frac{c+1}{a^2+1}\ge3\).
Bài 5: Cho a,b,c >0. Chứng minh rằng:
\(\frac{2a^2+ab}{\left(b+c+\sqrt{ca}\right)^2}+\frac{2b^2+bc}{\left(c+a+\sqrt{ab}\right)^2}+\frac{2c^2+ca}{\left(a+b+\sqrt{bc}\right)^2}\ge1\).
Cho các số dương a,b,c CMR ta luôn có đẳng thức sau :
\(\frac{c\left(a^2+b^2\right)^2}{b^3\left(ab+c^2\right)}+\frac{b\left(c^2+a^2\right)^2}{a^3\left(bc+b^2\right)}+\frac{a\left(b^2+c^2\right)^2}{c^3\left(bc+a^2\right)}\ge\frac{2\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)}{abc}\)
Cho a,b,c >0 Chứng minh rằng :
\(\frac{c\left(a^2+b^2\right)^2}{b^3\left(ab+c^2\right)}+\frac{b\left(c^2+a^2\right)^2}{a^3\left(ac+b^2\right)}+\frac{a\left(b^2+c^2\right)^2}{c^3\left(bc+a^2\right)}\ge\frac{2\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)}{abc}\)
Cho abc=36,\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\) .Tính
Q=\(\frac{a^2\left(b^2+c^2\right)-b^2c^2}{a^2b^2c^2}\cdot\frac{b^2\left(c^2+a^2\right)-c^2a^2}{a^2b^2c^2}\cdot\frac{c^2\left(a^2+b^2\right)-a^2b^2}{a^2b^2c^2}\)
Mạnh hơn BĐT Schur
Cho a,b,c là các số thực không âm,chứng minh rằng:
\(a^3+b^3+c^3\ge\frac{\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)^2}{a^2b+b^2c+c^2a}+\frac{\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)^2}{ab^2+bc^2+ca^2}\)
Ở đây chúng tôi không SOS hay ST s o s cái gì hết :P
