\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ac+a^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\forall a,b,c\)( luôn đúng )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases}\Leftrightarrow}a=b=c\)
Chứng minh bất đẳng thức :
a) \(3\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)\)
b) \(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge a+b+c\)với mọi a, b, c > 0
(Không dùng bất đẳng thức Cô-si)
Cho a, b, c ≥ 0. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
\(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge a+b+c\forall a,b,c>0\)
Chứng minh bất đẳng thức ab/(a+b) + bc/(b+c) + ca/(c+a) >= 3/2
cho a,b,c là ba số thực dương. chứng minh bất đẳng thức
\(\frac{a^3+b^3+c^3}{2abc}+\frac{a^2+b^2}{ab+c^2}+\frac{b^2+c^2}{bc+a^2}+\frac{c^2+a^2}{ca+b^2}\ge\frac{9}{2}\)
câu 1
a) Cho a ≥ 0, b ≥ 0. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy:\(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)
b) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:\(\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\ge a+b+c\)
c) Cho a, b > 0 và 3a + 5b = 12. Tìm giá trị lớn nhất của tích P = ab.
Cho các số a,b,c∈[1;2] Chứng minh bất đẳng thức:\(\frac{a^2+b^2}{ab}+\frac{b^2+c^2}{bc}+\frac{c^2+a^2}{ca}\le7\)
Cho a,b,c thuộc khoảng 0 đến 1.
Chứng minh bất đẳng thức :
a - b^2 - c^3 -ab - bc - ca =< 1
Chứng minh bất đẳng thức \(\frac{a+b}{a^2+b^2}+\frac{b+c}{b^2+c^2}+\frac{c+a}{c^2+a^2}\le3\)
với a, b,c >0 và a+b+c=ab+bc+ca
Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a+b+c=3. Chứng minh bất đẳng thức sau \(\dfrac{1}{1+ab}+\dfrac{1}{1+bc}+\dfrac{1}{1+ca} \geq \dfrac{3}{2}\)
