Question

Chứng minh các bất đẳng thức :

Cho a + b + c = 0 . Chứng minh rằng : a³ + b³ + c³ = 3abc. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng :

Answer 1

1) Ta có: a + b + c = 0 <=> \(a+b=-c\)

=> \(\left(a+b\right)^3=-c^3\)

=> \(a^3+3ab\left(a+b\right)+b^3\) = \(-c^3\)

=> \(a^3+b^3+c^3=-3ab\left(a+b\right)\)

=> \(a^3+b^3+c^3=-3ab.\left(-c\right)\) ( Vì \(a+b=-c\))

=> \(a^3+b^3+c^3=3abc\) => đpcm

Answer 2

2) Vì a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác

=> a,b,c > 0 và a < b+c ; b < a+ c ; c < a+ b

Ta có: \(\dfrac{a}{b+c}< \dfrac{a+a}{a+b+c}\) = \(\dfrac{2a}{a+b+c}\) ( b + c > 0; a >0)

\(\dfrac{b}{a+c}< \dfrac{b+b}{a+c+b}\) = \(\dfrac{2b}{a+b+c}\) ( a + c > 0; b > 0)

\(\dfrac{c}{a+b}< \dfrac{c+c}{a+b+c}\) = \(\dfrac{2c}{a+b+c}\) ( a + b >0; c > 0)

=> \(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{a+c}+\dfrac{c}{a+b}\) < \(\dfrac{2a+2b+2c}{a+b+c}\) = \(\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}\) = 2

=> đpcm