Question

Cho biểu thức: \(A=\left(b^2+c^2-a^2\right)^2-4b^2c^2\).

a) Phân tích biểu thức A thành nhân tử.

b) Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì A < 0.

Answer 1

Lời giải:

a)

\(A=(b^2+c^2-a^2)^2-4b^2c^2\)

\(A=(b^2+c^2-a^2)^2-(2bc)^2\)

\(A=(b^2+c^2-a^2-2bc)(b^2+c^2-a^2+2bc)\)

\(A=[(b-c)^2-a^2][(b+c)^2-a^2]\)

\(A=(b-c+a)(b-c-a)(b+c-a)(b+c+a)\)

b)

Viết lại: \(A=-(b+a-c)(c+a-b)(b+c-a)(a+b+c)\)

Nếu $a,b,c$ là ba cạnh của một tam giác:

Hiển nhiên \(b+c+a>0\)

\(b+a>c, b+c>a, a+c>b\)

\(\Rightarrow b+a-c, c+a-b, b+c-a>0\)

Do đó: \((b+a-c)(c+a-b)(b+c-a)(a+b+c)>0\)

\(\Rightarrow A=-(b+a-c)(c+a-b)(b+c-a)(a+b+c)< 0\)

Tức là A nhận giá trị âm (đpcm)

Answer 2

$A={\left(b^2+c^2-a^2\right)}^2-4b^2{c}^2$

=(b²+c²-a²-2bc)(b²+c²-a²+2bc)

=[(b²-2ab+c²)-a²][(b²+2bc+c²)-a²]

= [(b-c)²-a²][(b+c)²-a²]

=(b-c-a)(b-c+a)(b+c-a)(b+c+a)