Ta có :
\(a^5-a\)
\(=a\left(a^4+1\right)\)
\(=a\left[\left(a^2\right)^2+1^2\right]\)
\(=a\left(a^2-1\right)\left(a^2+1\right)\)
\(=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2+1\right)\) chia hết cho 2 và 3
\(=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a^2-2^2+5\right)\)
\(=a\left(a+1\right)\left(a-1\right)\left(a-2\right)\left(a+2\right)+5\left(n-1\right)\left(n+1\right)\) chia hết cho 5
Mà (2, 3, 5) = 1 \(\Rightarrow a^5-a\) chia hết cho 2, 3 và 5
\(\Rightarrow a^5-a\) chia hết cho 30
\(\Rightarrow\left(đpcm\right)\)
Cách khác:
Ta có: \(a^5-a\)
\(=a\left(a^4-1\right)\)
\(=a\left(a^2-1\right)\left(a^2+1\right)\)
\(=\left(a-1\right)\cdot a\cdot\left(a+1\right)\cdot\left(a^2+1\right)\)
Vì a-1 và a là hai số tự nhiên liên tiếp nên \(\left(a-1\right)\cdot a⋮2\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\cdot a\cdot\left(a+1\right)⋮2\)
mà \(\left(a-1\right)\cdot a\cdot\left(a+1\right)⋮3\)(Do a-1;a;a+1 là ba số tự nhiên liên tiếp)
nên \(\left(a-1\right)\cdot a\cdot\left(a+1\right)⋮6\)
hay \(a^5-a⋮6\)
mà \(a^5-a⋮5\)(Theo định lí Fermat nhỏ, ta có: Nếu \(a^p-a\) có p là số nguyên tố thì \(a^p-a⋮p\), 5 là số nguyên tố)
nên \(a^5-a⋮30\)(đpcm)
