Question

chứng minh 1^3+2^3+...+(n+1)^3=3(1^2+2^2+3^2+...+n^2)

Answer 1

Với n=1n=1 thì đẳng thức hiển nhiên đúng.

Giả sử (1) đúng với n=kn=k tức là:

13+23+33+...+k3=(1+2+3+...+k)213+23+33+...+k3=(1+2+3+...+k)2

Ta sẽ cm (1) đúng với n=k+1n=k+1 tức là cm:

13+23+33+...+k3+(k+1)3=(1+2+3+...+k+k+1)213+23+33+...+k3+(k+1)3=(1+2+3+...+k+k+1)2

Thật vậy, ta có:

13+23+33+...+k3+(k+1)3=(1+2+3+...+k+k+1)213+23+33+...+k3+(k+1)3=(1+2+3+...+k+k+1)2

⇔(13+23+33+...+k3)+(k+1)3=(1+2+3+...+k)2+(k+1)2+2(1+2+3+...+k)(k+1)⇔(13+23+33+...+k3)+(k+1)3=(1+2+3+...+k)2+(k+1)2+2(1+2+3+...+k)(k+1)

⇔(k+1)3=(k+1)2+2(1+2+3+...+k)(k+1)⇔(k+1)3=(k+1)2+2(1+2+3+...+k)(k+1)

Mà: (k+1)2+2(1+2+3+...+k)(k+1)=(k+1)2+2.k(k+1)(k+1)2=(k+1)3(k+1)2+2(1+2+3+...+k)(k+1)=(k+1)2+2.k(k+1)(k+1)2=(k+1)3

Do đó (1) đúng với n=k+1n=k+1

Theo nguyên lý quy nạp, ta có đpcm. 

Answer 2

13 là 1 mũ 3 mình ko bt viết mũ nhá