\(\frac{18\sqrt{2}}{3}=6\sqrt{2}\)
đặt mẫu số = Pain
áp dụng BDT cô si shaw ta có
\(\frac{1}{\sqrt{x\left(y+z\right)}}+\frac{1}{\sqrt{y\left(z+x\right)}}+\frac{1}{\sqrt{z\left(x+y\right)}}\ge\frac{9}{Pain}\)
áp dụng BDT cô si ta có ( thêm 2)
\(\sqrt{2x\left(y+z\right)}\le\frac{\left(2x+y+z\right)}{2}\)
\(\sqrt{2y\left(z+x\right)}\le\frac{\left(2y+z+x\right)}{2}\)
\(\sqrt{2z\left(x+y\right)}\le\frac{\left(2z+x+y\right)}{2}\)
+ lại và rút cái căn 2 ở VT và Tính VP ta được
\(\sqrt{2}\left(Pain\right)\le\frac{4}{2}\left(x+y+z\right)\) (x+y+z=18 căn 2)
\(\sqrt{2}\left(Pain\right)\le2\left(18.\sqrt{2}\right)\) ( rút gọn căn 2 với căn 2 )
\(Pain\le36\)
vì Pain năm ở dưới mẫu suy ra dấu \(\le\) thành dấu \(\ge\)
thay vào ta được
\(\frac{9}{Pain}\ge\frac{9}{36}=\frac{1}{4}\)
BĐT cần chứng minh tương đường với
\(\frac{1}{\sqrt{2x\left(y+z\right)}}+\frac{1}{\sqrt{2y\left(z+x\right)}}+\frac{1}{\sqrt{2x\left(x+y\right)}}\ge\frac{1}{4\sqrt{2}}\)
Áp dụng bđt Cauchy ta có: \(\sqrt[2]{2x\left(y+z\right)}\le2x+y+z\)do đó ta được
\(\frac{1}{\sqrt{2x\left(y+z\right)}}\ge\frac{2}{2x+y+z}\)
Hoàn toàn tương tự ta được BĐT:
\(\frac{1}{\sqrt{2x\left(y+z\right)}}+\frac{1}{\sqrt{2y\left(z+x\right)}}+\frac{1}{\sqrt{2z\left(x+y\right)}}\ge2\left(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\right)\)
Phép cm sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được
\(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\ge\frac{1}{8\sqrt{2}}\)
Thật vậy, theo bđt Cauchy ta được
\(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\ge\frac{9}{4\left(x+y+z\right)}=\frac{9}{4\cdot18\sqrt{2}}=\frac{1}{8\sqrt{2}}\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(x=y=z=6\sqrt{2}\)
