\(3\sqrt{a-1}+4\sqrt{5-a}\le10\)(1)
<=> \(9a-9+80-16a+24\sqrt{-a^2+6a-5}\le100\)
<=> \(24\sqrt{-a^2+6a-5}\le29+7a\)
<=> \(-576a^2+3456a-2880\le841+406a+49a^2\)
<=> \(625a^2-3050a+3721\ge0\)
<=> \(\left(25a-61\right)^2\ge0\)đúng với mọi \(1\le a\le5\)
Vậy (1) đúng với mọi a sao cho \(1\le a\le5\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = 61/25
Với \(1\le a\le5\)
Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
\(\left(3\sqrt{a-1}+4\sqrt{5-a}\right)^2\le\left(3^2+4^2\right)\left(a-1+5-a\right)=4\cdot25=100\)
\(\Rightarrow3\sqrt{a-1}+4\sqrt{5-a}\le10\)
=> đpcm
Cách khác:
Áp dụng bđt Bunhiacopski, ta được:
\(\left(3\sqrt{a-1}+4\sqrt{5-a}\right)^2\le\left(3^2+4^2\right)\left(a-1+5-a\right)\)
\(=25.4=100\)
\(\Rightarrow3\sqrt{a-1}+4\sqrt{5-a}\le10\)
Dấu "=" khi \(a=\frac{61}{25}\)
