Áp dụng BĐT cô si ta có:
\(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}\ge2\sqrt{\frac{xzy^2}{xz}}=2y\)
Tương tự ta có:\(\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}\ge2z,\frac{xz}{y}+\frac{xy}{z}\ge2x\)
Cộng lại ta có:\(2\left(\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}\right)\ge2\left(x+y+z\right)̸\)
\(\Leftrightarrow\frac{xy}{z}+\frac{yz}{x}+\frac{xz}{y}\ge x+y+z=1\)
Vậy \(GTNN=1\)Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)
Cho x,y,z là ba số dương : x+y+z=1 . tìm GTNN
\(\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\)
Cho x, y, z khác -1. Giá trị của biểu thức
\(A=\frac{xy+2x+1}{xy+x+y+1}+\frac{yz+2y+1}{yz+y+z+1}+\frac{zx+2z+1}{zx+z+x+1}\) là ...
Cho x, y, z > 0. Tìm GTLN của \(A=\frac{\sqrt{xy}}{z+2\sqrt{xy}}+\frac{\sqrt{yz}}{x+2\sqrt{yz}}+\frac{\sqrt{zx}}{y+2\sqrt{zx}}\)
cho x,y,z>0 thỏa mãn x+y+z=2019
tìm GTNN của biểu thức P=\(\frac{xy}{z}\)+ \(\frac{yz}{x}\)+\(\frac{zx}{y}\)
Cho x,y,z>0 và xyz=1
Tìm GTNN của M=\(\frac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}+\frac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}+\frac{\sqrt{1+z^3+x^3}}{zx}\)
Cho \(\frac{x^2-yz}{yz}+\frac{y^2-zx}{zx}+\frac{z^2-xy}{xy}=0\)
Tính giá trị của M=\(\left(1+\frac{z}{x}\right)\left(1+\frac{x}{y}\right)\left(1+\frac{y}{z}\right)\)
Tìm GTNN của \(A=\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{z}{zx}\) biết rằng x , y , z là các số dương và \(x^2+y^2+z^2\le3\)
Cho \(\hept{\begin{cases}x,y,z>0\\xy+yz+zx=3\end{cases}}\)Tìm GTNN của \(A=\frac{x^2}{\sqrt{x^3+8}}+\frac{y^2}{\sqrt{y^3+8}}+\frac{z^2}{\sqrt{z^3+8}}\)
cho A = \(\frac{xy+2x+1}{xy+x+y+1}+\frac{yz+2y+1}{yz+y+z+1}+\frac{zx+2z+1}{zx+z+x+1}\)với x,y,z\(\ne\)-1
