Cho x,y,z là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau với \(\left(x-z\right).\left(y-z\right)=z^2\). CMR: xyz là số chính phương.
Giúp mình với @Ace Legona, @Akai Haruma, @Võ Đông Anh Tuấn, @Nguyễn Huy Tú, @Neet, @Bùi Nhất Duy
\(GT\Leftrightarrow xy-xz-yz+z^2=z^2\)\(\Leftrightarrow xy=\left(x+y\right).z\)
\(\Leftrightarrow xyz=z^2\left(x+y\right)\)(*)
Giờ chỉ cần chứng minh x+y là SCP
Gọi d (\(d\in N\))là Ước chung lớn nhất của x-z và y-z thì
\(\left\{{}\begin{matrix}x-z⋮d\\y-z⋮d\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow x-y⋮d\) mà theo đề bài ,x và y là 2 số nguyên tố cùng nhau nên nó có ƯCLN là 1 nên \(d=1\)
nói cách khác, (x-z) và (y-z) là 2 số nguyên tố cùng nhau
mà tích của chúng là một số chính phương nên (x-z) và (y-z) cũng là 2 số chính phương.
\(\left\{{}\begin{matrix}x-z=a^2\\y-z=b^2\end{matrix}\right.\)(\(a,b\in N\)) \(\Rightarrow a^2b^2=z^2\Leftrightarrow ab=z\) ( do z nguyên dương)
do đó :\(x+y=a^2+b^2+2z=a^2+b^2+2ab=\left(a+b\right)^2\)( \(a,b\in N\)) là SCP
Từ (*) ta suy ra xyz là số chính phương
