Áp dụng BĐT Cô-si, ta có : \(\sqrt{\frac{y+z}{x}.1}\le\frac{\frac{y+z}{x}+1}{2}=\frac{x+y+z}{2x}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\frac{x}{y+z}}\ge\frac{2x}{x+y+z}\)
Tương tự : ....
Cộng từng vế BĐT, ta được : \(\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{x+z}}+\sqrt{\frac{z}{x+y}}\ge\frac{2\left(x+y+z\right)}{x+y+z}=2\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y+z\\y=x+z\\z=x+y\end{cases}}\Rightarrow x+y+z=0\)( trái với gt ) nên dấu "=" không xảy ra
Cho x,y,z là các số dương. Chứng minh rằng:
\(\frac{1}{\sqrt{x}+3\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{y}+3\sqrt{z}}+\frac{1}{\sqrt{z}+3\sqrt{x}}\ge\frac{1}{\sqrt{x}+2\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\frac{1}{\sqrt{y}+2\sqrt{z}+\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{z}+2\sqrt{x}+\sqrt{y}}\)
Ch x,y, z là các số dương. Chứng minh rằng: \(\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}< \sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{z+x}}+\sqrt{\frac{z}{x+y}}\)
1) cho x;y;z dương thỏa mãn x+y+z=2 .tìm min P=\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\)
2) cho x;y;z là các số dương sao cho \(x+y+z\ge12\)
tìm min M=\(\frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{z}}+\frac{z}{\sqrt{x}}\)
Cho x,y,z là các số dương thay đổi và luôn thỏa mãn điều kiện xyz=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
\(P=\frac{x^2\left(y+z\right)}{y\sqrt{y}+2z\sqrt{z}}+\frac{y^2\left(z+x\right)}{z\sqrt{z}+2x\sqrt{x}}+\frac{z^2\left(x+y\right)}{x\sqrt{x}+2y\sqrt{y}}\)
Cho x,y,z là các số dương .Tìm GTNN của bt::
P=\(\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}+\frac{\sqrt{y^2+z^2}}{x}+\frac{\sqrt{z^2+x^2}}{y}\)
Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn\(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=1\) 1. CMR \(\sqrt{\frac{xy}{x+y+2z}}+\sqrt{\frac{yz}{y+z+2x}+\sqrt{\frac{zx}{z+x+2y}}}\le\frac{1}{2}\)
cho x,y,z >0. CMR
\(\frac{x}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\frac{z}{\sqrt{x}+\sqrt{z}}=\frac{y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\frac{z}{\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\frac{x}{\sqrt{x}+\sqrt{z}}\)
10 tik nha !!!!!!!!
Cho x,y,z là các số dương và x+y+z \(\ge1\) . CM :
\(\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\ge\sqrt{82}\)
Cho các số dương x,y,z thỏa mãn \(\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2+z^2}+\sqrt{z^2+x^2}=2018\)
Tìm min T = \(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\)
