Question

Cho x,y,z là các số dương và x+y+z \(\ge1\) . CM :
\(\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\ge\sqrt{82}\)

Answer 1

Áp dụng BĐT Mincopxki và AM - GM ta có :

\(P=\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\)

\(\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2}\)

\(\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\frac{9}{x+y+z}\right)^2}\)

\(\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\frac{81}{\left(x+y+z\right)^2}}\)

\(\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\frac{1}{\left(x+y+z\right)^2}+\frac{80}{\left(x+y+z\right)^2}}\)

\(\ge\sqrt{\sqrt[2]{\left(x+y+z\right)^2.\frac{1}{\left(x+y+z\right)^2}+80}}\)

\(\ge\sqrt{2+80}=\sqrt{82}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)

Chúc bạn học tốt !!!