Bài 2: Cộng, trừ số hữu tỉ

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Trần Linh

Cho x,y,z là các số dương .

CMR : \(\dfrac{x}{2x+y+z}+\dfrac{y}{2y+z+x}+\dfrac{z}{2z+x+y}\le\dfrac{3}{4}\)

Luân Đào
14 tháng 1 2019 lúc 18:11

Ta có:

\(\dfrac{x}{2x+y+z}=\dfrac{x}{\left(x+y\right)+\left(y+z\right)}\le\dfrac{x}{2\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)}}\)

Tương tự với các phân số khác

\(\Rightarrow VT\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{x}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(z+x\right)}}+\dfrac{y}{\sqrt{\left(y+z\right)\left(x+y\right)}}+\dfrac{z}{\sqrt{\left(z+x\right)\left(x+y\right)}}\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}}{\sqrt{x+y}\cdot\sqrt{z+x}}+\dfrac{\sqrt{y}\cdot\sqrt{y}}{\sqrt{y+z}\cdot\sqrt{x+y}}+\dfrac{\sqrt{z}\cdot\sqrt{z}}{\sqrt{z+x}\cdot\sqrt{y+z}}\right)\)

\(\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\dfrac{x}{x+y}+\dfrac{x}{z+x}}{2}+\dfrac{\dfrac{y}{y+z}+\dfrac{y}{x+y}}{2}+\dfrac{\dfrac{z}{z+x}+\dfrac{z}{y+z}}{2}\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\left(\dfrac{x}{x+y}+\dfrac{y}{x+y}\right)+\left(\dfrac{y}{y+z}+\dfrac{z}{y+z}\right)+\left(\dfrac{z}{z+x}+\dfrac{x}{z+x}\right)}{2}\right)\)

\(=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi x = y = z


Các câu hỏi tương tự
Nhữ Thanh Hà
Xem chi tiết
phạm Thị Hà Nhi
Xem chi tiết
Trần Tú Anh
Xem chi tiết
Hồ Thị Linh Chi
Xem chi tiết
Bùi Thị Phương Anh
Xem chi tiết
Trang Nguyễn
Xem chi tiết
Thu Linh
Xem chi tiết
Nguyễn Châu Mỹ Linh
Xem chi tiết
Tran quang dat
Xem chi tiết