Question

Cho \(x,y,z\) là ba số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng 

       \(\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{y}\right)\left(1+\frac{1}{z}\right)\ge64\).

Answer 1

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM và sử dụng giả thiết x+y+z=1 ta có :

\(1+\frac{1}{x}=\frac{x+1}{x}=\frac{x+x+y+z}{x}\ge\frac{4\sqrt[4]{x^2yz}}{x}\)

CMTT ta có : \(1+\frac{1}{y}\ge\frac{4\sqrt[4]{xy^2x}}{y}\); \(1+\frac{1}{z}\ge\frac{4\sqrt[4]{xyz^2}}{z}\)

Nhân vế với vế các bđt trên ta được đpcm

Đẳng thức xảy ra <=> x=y=z=1/3

Answer 2

Sử dụng giả thiết $x+y+z=1$ và áp dụng bất đẳng thức Cô si cho bốn số dương ta có 

        1+\frac{1}{x}=\frac{x+1}{x}=\frac{x+x+y+z}{x}\ge\frac{4\sqrt[4]{x^2yz}}{x}1+x1​=xx+1​=xx+x+y+z​≥x44x2yz​​

Tương tự       1+\frac{1}{y}\ge\frac{4\sqrt[4]{xy^2z}}{y}1+y1​≥y44xy2z​​  và    1+\frac{1}{z}\ge\frac{4\sqrt[4]{xyz^2}}{z}1+z1​≥z44xyz2​​.

Nhân theo vế ba bất đẳng thức vừa nhận được suy ra đpcm.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  x=y=z=\frac{1}{3}x=y=z=31​.

Answer 3

x=y=z=1/3