Question

cho x,y,z là 3 số thực dương, biết xyz=1. tìm GTLN của biểu thức 

P = \(\frac{x^2y^2}{x^2y^2+x^7+y^7}+\frac{y^2z^2}{y^2z^2+y^7+z^7}+\frac{x^2z^2}{x^2z^2+x^7+z^7}\)

 

 

Answer 1

ap dung bdt \(x^{m+n}+y^{m+n}\ge x^my^n+x^ny^m\)  (bn tu cm )

\(\Rightarrow x^7+y^7=x^{3+4}+y^{3+4}\ge x^3y^4+x^4y^3\)

\(\Rightarrow\frac{x^2y^2}{x^2y^2+x^7+y^7}\le\frac{x^2y^2}{x^2y^2\left(1+xy^2+x^2y\right)}=\frac{1}{1+x^2y+y^2x}=\frac{1}{xyz+x^2y+y^2x}=\frac{1}{xy\left(x+y+z\right)}=\)

=\(\frac{z}{xyz\left(x+y+z\right)}=\frac{z}{x+y+z}\)

ttu \(P\le\frac{x+y+z}{x+y+z}=1\) đầu = xảy ra khi x=y=z=1