Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
ABC

cho  x,y,z > 0 t/m  \(x+y+z\le1\)

\(\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\ge\sqrt{82}\)

zZz Cool Kid_new zZz
8 tháng 1 2020 lúc 18:41

Câu hỏi của Trần Thành Phát Nguyễn - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

Khách vãng lai đã xóa
zZz Cool Kid_new zZz
8 tháng 1 2020 lúc 20:16

\(\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}=\sqrt{\frac{9}{10}}\cdot\sqrt{\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)\left(\frac{1}{9}+1\right)}\ge\sqrt{\frac{9}{10}}\cdot\left(\frac{x}{3}+\frac{1}{x}\right)\)

Tương tự:\(\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}\ge\sqrt{\frac{9}{10}}\left(\frac{y}{3}+\frac{1}{y}\right);\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\ge\sqrt{\frac{9}{10}}\left(\frac{z}{3}+\frac{1}{z}\right)\)

Cộng lại ta có:

\(LHS\ge\sqrt{\frac{9}{10}}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{x+y+z}{3}\right)\ge\sqrt{\frac{9}{10}}\left(\frac{9}{x+y+z}+\frac{x+y+z}{3}\right)\)

\(=\sqrt{\frac{9}{10}}\cdot\left(\frac{x+y+z}{3}+\frac{1}{3\left(x+y+z\right)}+\frac{26}{3\left(x+y+z\right)}\right)\)

ai đó giúp em đoạn này với.Em cô si xong thấy không đúng ạ :(

Khách vãng lai đã xóa
Phan Nghĩa
5 tháng 9 2020 lúc 21:04

Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức sau : với các số dương a,b,c,d , ta có : 

\(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\ge\sqrt{\left(a+c\right)^2+\left(b+d\right)^2}\) (*)

\(< =>a^2+b^2+c^2+d^2+2.\sqrt{a^2+b^2}.\sqrt{c^2+d^2}\ge a^2+b^2+c^2+d^2+2ac+2bd\)

\(< =>2.\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)}\ge2\left(ac+bd\right)\)\(< =>\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)}\ge ac+bd\)

\(< =>a^2c^2+b^2c^2+a^2d^2+b^2d^2\ge a^2c^2+b^2d^2+2abcd\)

\(< =>VT-VP=\left(ad-bc\right)^2\ge0\left(đpcm\right)\)

Sử dụng liên tiếp bất đẳng thức (*) , ta có : \(\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\ge\sqrt{\left(x+y\right)^2+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)}^2+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\)

\(\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2}\)(+)

Tiếp tuc ta sẽ chứng minh bất đẳng thức sau : với các số dương a,b,c  :

\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)(**)

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM : \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc};\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\)

Nhân theo vế \(< =>\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=9\left(đpcm\right)\)

Ta có bất đẳng thức (**) đúng nên suy ra được \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)(***)

Bất đẳng thức (***) tương đương với \(\left(x+y+z\right)^2+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2\ge\left(x+y+z\right)^2+\frac{81}{\left(x+y+z\right)^2}\)

Mà theo đánh giá của AM-GM thì \(\left(x+y+z\right)^2+\frac{1}{\left(x+y+z\right)^2}\ge2\sqrt{\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2}}=2\)(****)

Vfa theo giả thiết \(x+y+z\le1< =>\frac{1}{x+y+z}\ge1< =>\frac{80}{\left(x+y+z\right)^2}\ge80\)(*****)

Cộng theo vế hai bất đẳng thức (****) và (*****) ta được : \(\left(x+y+z\right)^2+\frac{81}{\left(x+y+z\right)^2}\ge2+80=82\) 

Khi đó \(\left(x+y+z\right)^2+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2\ge\left(x+y+z\right)^2+\frac{81}{\left(x+y+z\right)^2}\ge82\)(++)

Từ (+) và (++) ta suy ra được : \(\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\ge\sqrt{\left(x+y+z\right)^2+\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2}\ge\sqrt{82}\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)

Vậy bài toán đã được hoàn tất chứng minh ! 

Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
Trần Thành Phát Nguyễn
Xem chi tiết
Pythagoras
Xem chi tiết
Linh Nhi
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Mát
Xem chi tiết
Võ Huy Hoàng
Xem chi tiết
Nguyễn Quỳnh Nga
Xem chi tiết
Nguyễn Minh Toàn
Xem chi tiết
Hiếu Thông Minh
Xem chi tiết
Thu Trần Thị
Xem chi tiết