\(VT\ge\left(3x+3y\right).\frac{4}{3x+3y}=4\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y
Sửa ĐK x, y > 0
Ta có : \(\frac{1}{x+2y}+\frac{1}{2x+y}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x+2y+2x+y}=\frac{4}{3x+3y}\)( Bunyakovsky dạng phân thức )
=> \(\left(3x+3y\right)\left(\frac{1}{x+2y}+\frac{1}{2x+y}\right)\ge\left(3x+3y\right)\left(\frac{4}{3x+3y}\right)=4\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y
Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn x+y+z = 0
Chứng minh \(P=\frac{x\left(x+2\right)}{2x^2+1}+\frac{y\left(y+2\right)}{2y^2+1}+\frac{z\left(z+2\right)}{2z^2+1}\ge0\)
cho x,y>0 và 2x>y Chứng minh rằng \(\left(\frac{1}{x}+2\right)^2.\left(\frac{2}{y}-\frac{1}{x}\right).\frac{2y-1}{y}< =\frac{81}{8}\)
Cho x,y dương tm \(x^2+y^2=1\). Chứng minh rằng \(\left(1+x\right)\left(1+\frac{1}{y}\right)+\left(1+y\right)\left(1+\frac{1}{x}\right)\ge4+3\sqrt{2}\)
Cho x, y, z > 0. Chứng minh \(\left(x+y\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\ge4\)
Cho x,y,z không âm và (x+z)(y+z) =1
chứng minh: \(\frac{1}{\left(x-y\right)^2}+\frac{1}{\left(x+z\right)^2}+\frac{1}{\left(y+z\right)^2}\ge4\)
Cho \(x,y,z\ge0\),\(xy+yz+zx>0,z=\left\{x,y,z\right\}\). Chứng minh rằng:
\(\frac{x}{y+z}+2\sqrt{\frac{y}{z+x}}+3\sqrt[3]{\frac{z}{x+y}}\ge4\)
Giải hệ phương trình \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{x}-\frac{1}{2y}=2\left(y^4-x^4\right)\\\frac{1}{x}+\frac{1}{2y}=\left(3x^2+y^2\right)\left(x^2+3y^2\right)\end{cases}}\)
Cho các số thực dương x,y,z thoả x+y+z=\(3\sqrt{2}\).Chứng minh rằng:
\(\frac{1}{\sqrt{x\left(3y+5z\right)}}+\frac{1}{\sqrt{y\left(3z+5x\right)}}+\frac{1}{\sqrt{z\left(3x+5y\right)}}\ge\frac{3}{4}\)
\(\frac{1}{x}-\frac{1}{2y}=2\left(y^4-x^4\right)\)
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{2y}=\left(3x^2+y^2\right)\left(x^2+3y^2\right)\)
