\(\left(x-y\right)^2\ge0\Leftrightarrow x^2+y^2\ge2xy\Leftrightarrow2x^2+2y^2\ge x^2+y^2+2xy\)
\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\Rightarrow x^2+y^2\ge\frac{1}{2}\left(x+y\right)^2=\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
Cho x,y >0.Chứng minh x^2/x^2+(x+y)^2+y^2/y^2+(x+y)^2<1/2
cho x+y=1 và x y khác 0 . Chứng minh rằng :
x/y^3-1 - y/x^3-1 + 2(x-y)/x^2y^2+3 = 0Cho x, y, z khác 0 và \(\dfrac{y^2+z^2-x^2}{2yz}+\dfrac{z^2+x^2-y^2}{2xz}+\dfrac{x^2+y^2-z^2}{2xy}=1\). Chứng minh: Trong 3 phân thức trên có 1 phân thức bằng -1 và 2 phân thức còn lại bằng 1
Cho x, y, z khác 0 và \(\dfrac{y^2+z^2-x^2}{2yz}+\dfrac{z^2+x^2-y^2}{2xz}+\dfrac{x^2+y^2-z^2}{2xy}=1\). Chứng minh: Trong 3 phân thức trên có 1 phân thức bằng -1 và 2 phân thức còn lại bằng 1
Chứng minh rằng: \(x^2=\frac{x^2+y^2-1+2xy}{x^2-y^2+z+2x}=\frac{x+y-1}{x-y+1}\)
cho x + y + z = 1, chứng minh
\(x^2+y^2+z^2\ge\frac{1}{3}\)
Với 0 <= x,y <= \(\dfrac{1}{2}\) Chứng minh:
\(\dfrac{\sqrt{x}}{y+1}+\dfrac{\sqrt{y}}{x+1}< =\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\)
Cho \(x;y;z>0;x+y+z=1\)
Chứng minh : \(\dfrac{1}{x^2+2yz}+\dfrac{1}{y^2+2xz}+\dfrac{1}{z^2+2xy}\ge9\)
Cho x,y thỏa mãn x,y thuộc R và 0\(\le x,y\le\dfrac{1}{2}\) chứng minh rằng \(\dfrac{\sqrt{x}}{1+y}+\dfrac{\sqrt{y}}{1+x}\le\dfrac{2\sqrt{2}}{3}\)
