Question

cho x,y>=0;x+y=16 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

M=\(\frac{9}{xy}\)+\(\frac{17}{x^2+y^2}\)

Answer 1

ta đi chứng minh \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\forall a,b>0\)(tự chứng minh nhé, nhân chéo lên xong phân tích ra nó sẽ ra (a-b)^2/ab lớn hơn bằng 0)

\(M=\frac{18}{2xy}+\frac{17}{x^2+y^2}\ge\frac{17.4}{\left(x+y\right)^2}+\frac{1}{2xy}\)

Chứng minh được \(2xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\forall x,y>0\)

\(\Rightarrow M\ge\frac{68}{16^2}+\frac{2}{\left(x+y\right)^2}=\frac{17}{64}+\frac{2}{16^2}=\frac{35}{128}\)

Đẳng thức xảy ra <=> x=y=8