Question

Cho x,y>0 và \(x+y\le1\). Tìm GTNN của \(A=\left(1-\dfrac{1}{x^2}\right)\left(1-\dfrac{1}{y^2}\right)\)

Answer 1

\(A=\left(1-\dfrac{1}{x^2}\right)\left(1-\dfrac{1}{y^2}\right)=1+\dfrac{1}{x^2y^2}-\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương, ta có:

\(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\ge\dfrac{2}{xy}\) (1)

và \(x+y\ge2\sqrt{xy}\) (2)

TỪ (2) \(\Rightarrow\) \(\dfrac{1}{x^2y^2}\ge\dfrac{16}{\left(x+y\right)^4}\) và \(\dfrac{2}{xy}\ge\dfrac{8}{\left(x+y\right)^2}\)

Mặt khác, theo đề \(x+y\le1\)

=> \(\dfrac{1}{x+y}\ge1\)

=> A \(\ge1+\dfrac{16}{\left(x+y\right)^4}+\dfrac{2}{xy}\) \(\ge1+\dfrac{16}{\left(x+y\right)^4}-\dfrac{8}{\left(x+y\right)^2}\)

\(=1+16-8=9\)

Dấu ''='' xảy ra khi x = y = 0,5