\(P=\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{y}\right)=1+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{xy}=1+\frac{2}{xy}\ge1+\frac{2}{\frac{\left(x+y\right)^2}{4}}=9\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = 1/2
Vậy min P = 9 đạt tại x = y = 1/2
\(P=\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{y}\right)\)
\(=\left(1+\frac{x+y}{x}\right)\left(1+\frac{x+y}{y}\right)\)
\(=\left(1+1+\frac{y}{x}\right)\left(1+1+\frac{x}{y}\right)\)
\(=4+\frac{2y}{x}+\frac{2x}{y}+1=5+\frac{2y}{x}+\frac{2x}{y}\)
Áp dụng BĐT cô si cho 3 số dương ta được :
\(5+\frac{2y}{x}+\frac{2x}{y}\ge5+2\sqrt{\frac{2y}{x}.\frac{2x}{y}}=9\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{2y}{x}=\frac{2x}{y}\Leftrightarrow x^2=y^2\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\left(x,y>0;x+y=1\right)\)
Bài này có rất nhiều cách giải,sau đây mình xin liệt kê bốn cách
Cách 1:
\(\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{y}\right)=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{xy}+1\ge\frac{4}{x+y}+\frac{1}{\frac{\left(x+y\right)^2}{4}}+1=9\)
Cách 2:
Theo Cô-si
\(\frac{1}{x}+1=\frac{1}{2x}+\frac{1}{2x}+1\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{4x^2}}\) ; \(\frac{1}{y}+1=\frac{1}{2y}+\frac{1}{2y}+1\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{4y^2}}\)
\(\Rightarrow\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{y}\right)\ge9\sqrt[3]{\frac{1}{16x^2y^2}}\ge9\sqrt[3]{\frac{1}{\left(x+y\right)^4}}=9\)
Cách 3:
Theo Bunhiakvsky
\(\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{y}\right)\ge\left(1+\frac{1}{\sqrt{xy}}\right)^2\ge\left(1+\frac{1}{\frac{x+y}{2}}\right)^2=9\)
Cách 4:
Từ điều kiện ta có thể suy ra \(y=1-x\left(0< x< 1\right)\)
Xét
\(\left(1+\frac{1}{x}\right)\left(1+\frac{1}{1-x}\right)-9=\frac{\left(2x-1\right)^2}{\left(1-x\right)x}\ge0\)
