Question

Cho x,y, z >0 chứng minh \(\frac{x^3}{x^2+y^2}+\frac{y^3}{y^2+z^2}+\frac{z^3}{z^2+x^2}\ge\frac{x+y+z}{2}\)

Answer 1

Em mới học lớp 7

Answer 2

e năm nay ms lên lớp 8

sorry a trai nhìu nhìu

Answer 3

Ta có :\(\frac{x^3}{x^2+y^2}=x-\frac{xy^2}{x^2+y^2}\ge x-\frac{xy^2}{2xy}=x-\frac{y}{2}\left(1\right).\)( vì x,y >0 ; \(x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow\frac{xy^2}{x^2+y^2}\le\frac{xy^2}{2xy}.\))

Chứng minh tương tự ta có : 

\(\frac{y^3}{y^2+z^2}\ge y-\frac{z}{2}\left(2\right).\);       \(\frac{z^3}{z^2+x^2}\ge z-\frac{x}{2}\left(3\right).\)

Cộng vế với vế của các bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được :

\(\frac{x^3}{x^2+y^2}+\frac{y^3}{y^2+z^2}+\frac{z^3}{z^2+x^2}\ge\frac{x+y+z}{2}.\)( đpcm)