Question

Cho x,y thuộc Z (x,y khác 0) CMR

\(\dfrac{4x^2y^2}{\left(x^2+y^2\right)^2}+\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}\)lớn hơn hoặc bằng 3

Giúp mk : mk cần gấp !!!!!! @Phùng Khánh Linh

@ngonhuminh

@chú tuổi gì

@Nhã Doanh

@Nguyễn Ngô Minh Trí

@Đời về cơ bản là buồn... cười!!!

@Phạm Nguyễn Tất Đạt

Answer 1

Ta có:

\(\dfrac{4x^2y^2}{\left(x^2+y^2\right)^2}+\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}\)

+/ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: \(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}\ge2\left(x,y\ne0\right)\)

+/ Ta có:

\(\left(x^2-y^2\right)^2\ge0\forall x,y\)

\(\Rightarrow x^4-2x^2y^2+y^4\ge0\)

\(\Rightarrow x^4+y^4\ge2x^2y^2\)

\(\Rightarrow x^4+2x^2y^2+y^4\ge4x^2y^2\)

\(\Rightarrow(x^2+y^2)^2\ge4x^2y^2\)

Do đó:

\(\dfrac{4x^2y^2}{\left(x^2+y^2\right)^2}\ge\dfrac{4x^2y^2}{4x^2y^2}=1\)

Khi đó:

\(\dfrac{4x^2y^2}{\left(x^2+y^2\right)^2}+\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}\ge1+2=3\left(đpcm\right)\)