Ta có: \(\left(x+\sqrt{1+x^2}\right).\left(y+\sqrt{1+y^2}\right)=1\)
\(\Rightarrow\left(x-\sqrt{1+x^2}\right).\left(x+\sqrt{1+x^2}\right).\left(y+\sqrt{1+y^2}\right)=x-\sqrt{1+x^2}\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-1-x^2\right)\left(y+\sqrt{1+y^2}\right)=x-\sqrt{1+x^2}\)
\(\Leftrightarrow-y-\sqrt{1+y^2}=x-\sqrt{1+x^2}\Rightarrow x+y=\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1+y^2}\left(1\right)\)
Mặt khác: \(\left(x+\sqrt{1+x^2}\right).\left(y+\sqrt{1+y^2}\right)=1\)
\(\Rightarrow\left(x+\sqrt{1+x^2}\right).\left(y+\sqrt{1+y^2}\right)\left(y-\sqrt{1+y^2}\right)=y-\sqrt{1+y^2}\)
Rút gọn tương tự như ở trên ta được:
\(-x-\sqrt{1+x^2}=y-\sqrt{1+y^2}\Rightarrow x+y=\sqrt{1+y^2}-\sqrt{1+x^2}\left(2\right)\)
Công 2 vế (1) và (2) lai với nhau ta được:
\(2x+2y=0\Rightarrow x+y=0\)
Suy ra: x2015+y2015=(x+y).(x2014-x2013y+....-xy2013+y2014)=0.(x2014-x2013y+....-xy2013+y2014)=0
