Question

Cho x,y dương thảo mãn: \(x+2y\ge5\). Tìm GTNN của biểu thức

\(H=x^2+2y^2+\frac{1}{x}+\frac{24}{y}\)

Answer 1

\(H=x^2+2y^2+\frac{1}{x}+\frac{24}{y}\)

\(\Leftrightarrow H=\left(\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2x}+\frac{1}{2x}\right)+\left(\frac{3}{2}y^2+\frac{12}{y}+\frac{12}{y}\right)+\left(\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}y^2+2\right)-\frac{5}{2}\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(H\ge3.\sqrt[3]{\frac{1}{2}x^2.\frac{1}{2x}.\frac{1}{2x}}+3.\sqrt[3]{\frac{3}{2}y^2.\frac{12}{y}.\frac{12}{y}}+2.\sqrt{\frac{1}{2}x^2.\frac{1}{2}}+2.\sqrt{\frac{1}{2}y^2.2}-\frac{5}{2}=\frac{3}{2}+18+x+2y-\frac{5}{2}\ge22\)Dấu " = " xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}}\)( tự giải nhé )

KL:....